Упр.614 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {(x-y)^2+2(x-y)=3, 3x^2+xy+y^2=27};
б) {(1/2)(x+y)^2-x-y=4, (1/2)x^2+xy+(1/4)y^2=-2}.
а) Обозначим $$t=x-y.$$ Тогда первое уравнение системы примет вид
$$t^2+2t-3=0.$$
Разложим на множители:
$$ (t+3)(t-1)=0, $$
откуда $$t=-3$$ или $$t=1.$$
1) Если $$x-y=-3,$$ то $$y=x+3.$$ Подставим во второе уравнение:
$$3x^2+x(x+3)+(x+3)^2=27,$$
$$3x^2+x^2+3x+x^2+6x+9=27,$$
$$5x^2+9x-18=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 5\cdot 18=441,$$
$$x=\frac{-9\pm 21}{10}.$$
Тогда $$x=-3$$ или $$x=\frac65.$$
Соответственно,
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=\frac{21}{5}.$$
Получаем точки $$(-3;0)$$ и $$\left(\frac65;\frac{21}{5}\right).$$
2) Если $$x-y=1,$$ то $$y=x-1.$$ Подставим во второе уравнение:
$$3x^2+x(x-1)+(x-1)^2=27,$$
$$3x^2+x^2-x+x^2-2x+1=27,$$
$$5x^2-3x-26=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 5\cdot 26=529,$$
$$x=\frac{3\pm 23}{10}.$$
Тогда $$x=-2$$ или $$x=\frac{13}{5}.$$
Соответственно,
$$y=-3 \quad \text{или} \quad y=\frac85.$$
Получаем точки $$(-2;-3)$$ и $$\left(\frac{13}{5};\frac85\right).$$
б) Обозначим $$t=x+y.$$ Тогда первое уравнение системы:
$$\frac12 t^2-t-4=0.$$
Умножим на 2:
$$t^2-2t-8=0,$$
$$ (t-4)(t+2)=0, $$
откуда $$t=4$$ или $$t=-2.$$
1) Если $$x+y=-2,$$ то $$y=-x-2.$$ Подставим во второе уравнение:
$$\frac12 x^2+x(-x-2)+\frac14(-x-2)^2=-2,$$
$$\frac12 x^2-x^2-2x+\frac14(x^2+4x+4)=-2,$$
$$-\frac14 x^2-x+1=-2,$$
$$x^2+4x-12=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 12=64,$$
$$x=\frac{-4\pm 8}{2}.$$
Тогда $$x=-6$$ или $$x=2.$$
Соответственно,
$$y=4 \quad \text{или} \quad y=-4.$$
Получаем точки $$(-6;4)$$ и $$(2;-4).$$
2) Если $$x+y=4,$$ то $$y=4-x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$\frac12 x^2+x(4-x)+\frac14(4-x)^2=-2,$$
$$\frac12 x^2+4x-x^2+4-2x+\frac14(x^2-8x+16)=-2,$$
$$-\frac14 x^2+2x+8=-2,$$
$$x^2-8x-40=0.$$
$$D=64+160=224,$$
$$x=\frac{8\pm \sqrt{224}}{2}=4\pm 2\sqrt{14}.$$
Тогда
$$y=4-x=\mp 2\sqrt{14}.$$
Получаем точки $$\left(4+2\sqrt{14};-2\sqrt{14}\right)$$ и $$\left(4-2\sqrt{14};2\sqrt{14}\right).$$
Ответ
а) $$(-3;0),\ \left(\frac65;\frac{21}{5}\right),\ (-2;-3),\ \left(\frac{13}{5};\frac85\right).$$
б) $$(-6;4),\ (2;-4),\ \left(4+2\sqrt{14};-2\sqrt{14}\right),\ \left(4-2\sqrt{14};2\sqrt{14}\right).$$
