Упр.613 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а)

Из второго уравнения:
$$(x-y)(x+y)=0$$
значит,
$$x-y=0 \quad \text{или} \quad x+y=0.$$

1) Если $$x=y,$$ то из первого уравнения получаем:

$$2x^2-3x^2=-16$$
$$-x^2=-16$$
$$x^2=16,\quad x=\pm 4.$$
Тогда $$y=x,$$ поэтому получаем точки $$(-4;-4)$$ и $$(4;4).$$

2) Если $$x=-y,$$ то из первого уравнения:

$$2x^2-3(-x)^2=-16$$
$$2x^2-3x^2=-16$$
$$-x^2=-16$$
$$x^2=16,\quad x=\pm 4.$$
Тогда $$y=-x,$$ значит получаем точки $$(-4;4)$$ и $$(4;-4).$$

Ответ: $$(-4;-4),\ (-4;4),\ (4;-4),\ (4;4).$$

б)

Из первого уравнения:
$$(2x+y)(2y-x)=0,$$
значит,
$$2x+y=0 \quad \text{или} \quad 2y-x=0.$$

1) Если $$2x+y=0,$$ то $$y=-2x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\frac12 x^2-2x(-2x)-(-2x)^2=2$$
$$\frac12 x^2+4x^2-4x^2=2$$
$$\frac12 x^2=2$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда $$y=-2x,$$ откуда получаем точки $$(-2;4)$$ и $$(2;-4).$$

2) Если $$2y-x=0,$$ то $$x=2y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\frac12 (2y)^2-2(2y)y-y^2=2$$
$$2y^2-4y^2-y^2=2$$
$$-3y^2=2.$$
Действительных решений нет.

Ответ: $$(-2;4),\ (2;-4).$$

в)

Из первого уравнения:
$$9x^2-y^2=0,$$
значит,
$$y^2=9x^2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+y^2-x=0$$
$$x^2+9x^2-x=0$$
$$10x^2-x=0$$
$$x(10x-1)=0.$$

Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{10}.$$

1) Если $$x=0,$$ то $$y^2=0,$$ значит $$y=0.$$ Получаем точку $$(0;0).$$

2) Если $$x=\frac{1}{10},$$ то

$$y^2=9\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2=\frac{9}{100},$$
значит,
$$y=\pm \frac{3}{10}.$$
Получаем точки
$$\left(\frac{1}{10};\frac{3}{10}\right)$$ и $$\left(\frac{1}{10};-\frac{3}{10}\right).$$

Ответ: $$(0;0),\ \left(\frac{1}{10};\frac{3}{10}\right),\ \left(\frac{1}{10};-\frac{3}{10}\right).$$

г)

Из второго уравнения:
$$x^2-4y^2=0,$$
значит,
$$x^2=4y^2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-y^2-y=24$$
$$4y^2-y^2-y=24$$
$$3y^2-y-24=0.$$

Найдём корни:
$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot (-24)=1+288=289,$$
$$y=\frac{1\pm 17}{6}.$$
Тогда
$$y_1=3,\quad y_2=-\frac{8}{3}.$$

1) Если $$y=3,$$ то $$x^2=4\cdot 9=36,$$ значит $$x=\pm 6.$$ Получаем точки $$(6;3)$$ и $$(-6;3).$$

2) Если $$y=-\frac{8}{3},$$ то

$$x^2=4\cdot \frac{64}{9}=\frac{256}{9},$$
значит
$$x=\pm \frac{16}{3}.$$
Получаем точки
$$\left(\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right)$$ и $$\left(-\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right).$$

Ответ: $$(-6;3),\ (6;3),\ \left(-\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right),\ \left(\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right).$$