Упр.613 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2-3y^2=-16, (x-y)(x+y)=0}; в) {9x^2-y^2=0, x^2+y^2-x=0};
б) {(2x+y)(2y-x)=0, (1/2)x^2-2xy-y^2=2}; г) {x^2-y^2-y=24, x^2-4y^2=0}.

1. а)

   Из второго уравнения:
   $$ (x-y)(x+y)=0 $$
   значит,
   $$ x-y=0 \quad \text{или} \quad x+y=0. $$

   1) Если $$x=y,$$ то из первого уравнения получаем:

   $$ 2x^2-3x^2=-16 $$
   $$ -x^2=-16 $$
   $$ x^2=16,\quad x=\pm 4. $$
   Тогда $$y=x,$$ поэтому получаем точки $$(-4;-4)$$ и $$(4;4).$$

   2) Если $$x=-y,$$ то из первого уравнения:

   $$ 2x^2-3(-x)^2=-16 $$
   $$ 2x^2-3x^2=-16 $$
   $$ -x^2=-16 $$
   $$ x^2=16,\quad x=\pm 4. $$
   Тогда $$y=-x,$$ значит получаем точки $$(-4;4)$$ и $$(4;-4).$$

   Ответ: $$(-4;-4),\ (-4;4),\ (4;-4),\ (4;4).$$

2. б)

   Из первого уравнения:
   $$ (2x+y)(2y-x)=0, $$
   значит,
   $$ 2x+y=0 \quad \text{или} \quad 2y-x=0. $$

   1) Если $$2x+y=0,$$ то $$y=-2x.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$ \frac12 x^2-2x(-2x)-(-2x)^2=2 $$
   $$ \frac12 x^2+4x^2-4x^2=2 $$
   $$ \frac12 x^2=2 $$
   $$ x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
   Тогда $$y=-2x,$$ откуда получаем точки $$(-2;4)$$ и $$(2;-4).$$

   2) Если $$2y-x=0,$$ то $$x=2y.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$ \frac12 (2y)^2-2(2y)y-y^2=2 $$
   $$ 2y^2-4y^2-y^2=2 $$
   $$ -3y^2=2. $$
   Действительных решений нет.

   Ответ: $$(-2;4),\ (2;-4).$$

3. в)

   Из первого уравнения:
   $$ 9x^2-y^2=0, $$
   значит,
   $$ y^2=9x^2. $$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2+y^2-x=0 $$
   $$ x^2+9x^2-x=0 $$
   $$ 10x^2-x=0 $$
   $$ x(10x-1)=0. $$

   Отсюда
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{10}. $$

   1) Если $$x=0,$$ то $$y^2=0,$$ значит $$y=0.$$ Получаем точку $$(0;0).$$

   2) Если $$x=\frac{1}{10},$$ то

   $$ y^2=9\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2=\frac{9}{100}, $$
   значит,
   $$ y=\pm \frac{3}{10}. $$
   Получаем точки
   $$\left(\frac{1}{10};\frac{3}{10}\right)$$ и $$\left(\frac{1}{10};-\frac{3}{10}\right).$$

   Ответ: $$(0;0),\ \left(\frac{1}{10};\frac{3}{10}\right),\ \left(\frac{1}{10};-\frac{3}{10}\right).$$

4. г)

   Из второго уравнения:
   $$ x^2-4y^2=0, $$
   значит,
   $$ x^2=4y^2. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ x^2-y^2-y=24 $$
   $$ 4y^2-y^2-y=24 $$
   $$ 3y^2-y-24=0. $$

   Найдём корни:
   $$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot (-24)=1+288=289, $$
   $$ y=\frac{1\pm 17}{6}. $$
   Тогда
   $$ y_1=3,\quad y_2=-\frac{8}{3}. $$

   1) Если $$y=3,$$ то $$x^2=4\cdot 9=36,$$ значит $$x=\pm 6.$$ Получаем точки $$(6;3)$$ и $$(-6;3).$$

   2) Если $$y=-\frac{8}{3},$$ то

   $$ x^2=4\cdot \frac{64}{9}=\frac{256}{9}, $$
   значит
   $$ x=\pm \frac{16}{3}. $$
   Получаем точки
   $$\left(\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right)$$ и $$\left(-\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right).$$

   Ответ: $$(-6;3),\ (6;3),\ \left(-\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right),\ \left(\frac{16}{3};-\frac{8}{3}\right).$$