Упр.612 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {x^2+y^2=29, xy=-10}; в) {x^2+3xy+y^2=31, xy-6=0};
б) {1-xy=0, x^2+y^2=4 1/4}; г) {x^2-4xy+y^2=6, 5-xy=0}.
а)
Из второго уравнения $$xy=-10$$ получаем $$y=-\frac{10}{x}$$.
Подставим в первое:$$x^2+\frac{100}{x^2}=29$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-29x^2+100=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-29t+100=0$$
$$D=29^2-4\cdot100=441$$
$$t_{1,2}=\frac{29\pm21}{2}$$
$$t_1=4,\quad t_2=25$$
Значит,
$$x=\pm2,\ \pm5.$$
Тогда по формуле $$y=-\frac{10}{x}$$ получаем пары:$$(-2;5),\ (2;-5),\ (-5;2),\ (5;-2).$$
б)
Из первого уравнения $$1-xy=0$$, значит $$xy=1$$ и $$y=\frac{1}{x}$$.
Подставим во второе:$$x^2+\frac{1}{x^2}=4\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$
Умножим на $$4x^2$$:
$$4x^4-17x^2+4=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$4t^2-17t+4=0$$
$$D=17^2-4\cdot4\cdot4=225$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm15}{8}$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=4$$
Значит,
$$x=\pm\frac12,\ \pm2.$$
Тогда $$y=\frac{1}{x}$$, и получаем:$$\left(-\frac12;-2\right),\ \left(\frac12;2\right),\ (-2;-\frac12),\ (2;\frac12).$$
в)
Из второго уравнения $$xy-6=0$$, значит $$xy=6$$ и $$y=\frac{6}{x}$$.
Подставим в первое:$$x^2+3xy+y^2=31$$
$$x^2+18+\frac{36}{x^2}=31$$
$$x^2+\frac{36}{x^2}=13$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-13x^2+36=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-13t+36=0$$
$$D=13^2-4\cdot36=25$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm5}{2}$$
$$t_1=4,\quad t_2=9$$
Значит,
$$x=\pm2,\ \pm3.$$
Тогда $$y=\frac{6}{x}$$, и получаем:$$(-2;-3),\ (2;3),\ (-3;-2),\ (3;2).$$
г)
Из второго уравнения $$5-xy=0$$, значит $$xy=5$$ и $$y=\frac{5}{x}$$.
Подставим в первое:$$x^2-4xy+y^2=6$$
$$x^2-20+\frac{25}{x^2}=6$$
$$x^2+\frac{25}{x^2}=26$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-26x^2+25=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-26t+25=0$$
$$D=26^2-4\cdot25=576$$
$$t_{1,2}=\frac{26\pm24}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=25$$
Значит,
$$x=\pm1,\ \pm5.$$
Тогда $$y=\frac{5}{x}$$, и получаем:$$(-1;-5),\ (1;5),\ (-5;-1),\ (5;1).$$
Ответ
а) $$(-2;5),\ (2;-5),\ (-5;2),\ (5;-2)$$;
б) $$\left(-\frac12;-2\right),\ \left(\frac12;2\right),\ (-2;-\frac12),\ (2;\frac12)$$;
в) $$(-2;-3),\ (2;3),\ (-3;-2),\ (3;2)$$;
г) $$(-1;-5),\ (1;5),\ (-5;-1),\ (5;1)$$.
