Упр.610 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {4x^2-5y^2-3y=-10, 2x^2-3y^2-2y=-6}; в) {2xy-5y=5, 3y^2-2xy=45};
б) {x^2-y^2-2x=-1, -2x^2+3y^2+5x=15}; г) {4x^2-3xy=-8, xy-x=10}.
а)
Из второго уравнения выразим $$x^2$$:
$$2x^2-3y^2-2y=-6$$
$$2x^2=3y^2+2y-6.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4x^2-5y^2-3y=-10$$
$$2(3y^2+2y-6)-5y^2-3y=-10$$
$$6y^2+4y-12-5y^2-3y=-10$$
$$y^2+y-2=0$$
$$ (y+2)(y-1)=0 $$
$$y=-2 \text{ или } y=1.$$
Найдём $$x$$:
при $$y=-2$$:
$$2x^2=3\cdot 4+2\cdot(-2)-6=2,$$
$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
При $$y=1$$:
$$2x^2=3\cdot 1+2\cdot 1-6=-1,$$
что невозможно. Значит, подходят только $$y=-2$$ и $$x=\pm 1$$.
б)
Из первого уравнения выразим $$y^2$$:
$$x^2-y^2-2x=-1$$
$$y^2=x^2-2x+1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$-2x^2+3y^2+5x=15$$
$$-2x^2+3(x^2-2x+1)+5x=15$$
$$x^2-x-12=0$$
$$ (x-4)(x+3)=0 $$
$$x=4 \text{ или } x=-3.$$
Найдём $$y$$:
при $$x=4$$:
$$y^2=16-8+1=9,\quad y=\pm 3.$$
при $$x=-3$$:
$$y^2=9+6+1=16,\quad y=\pm 4.$$
в)
Из первого уравнения:
$$2xy-5y=5$$
$$2xy=5y+5.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3y^2-2xy=45$$
$$3y^2-(5y+5)=45$$
$$3y^2-5y-50=0$$
$$D=25+600=625,$$
$$y=\frac{5\pm 25}{6}.$$
Отсюда:
$$y_1=5,\quad y_2=-\frac{10}{3}.$$
Найдём $$x$$:
при $$y=5$$:
$$2x\cdot 5=5\cdot 5+5=30,$$
$$x=3.$$
При $$y=-\frac{10}{3}$$:
$$2x\left(-\frac{10}{3}\right)=5\left(-\frac{10}{3}\right)+5=-\frac{35}{3},$$
$$x=\frac{7}{4}.$$
г)
Из второго уравнения:
$$xy-x=10$$
$$x(y-1)=10.$$
Выразим $$xy$$:
$$xy=x+10.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4x^2-3xy=-8$$
$$4x^2-3(x+10)=-8$$
$$4x^2-3x-22=0.$$
$$D=9+352=361,$$
$$x=\frac{3\pm 19}{8}.$$
Получаем:
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{11}{4}.$$
Найдём $$y$$:
при $$x=-2$$:
$$-2(y-1)=10,\quad y=-4.$$
при $$x=\frac{11}{4}$$:
$$\frac{11}{4}(y-1)=10,\quad y=\frac{51}{11}.$$
Ответ
а) $$(-1;\,-2),\ (1;\,-2)$$;
б) $$(-3;\,-4),\ (-3;\,4),\ (4;\,-3),\ (4;\,3)$$;
в) $$\left(\frac{7}{4};\,-\frac{10}{3}\right),\ (3;\,5)$$;
г) $$(-2;\,-4),\ \left(\frac{11}{4};\ \frac{51}{11}\right)$$.
