Упр.608 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x-3y=8, xy+12=0}; в) {y-x^2+x=0, y+x^2+3=0};
б) {(x-y)(x+y)=0, x^2+y^2=4}; г) {(y-x^2)(y-2x)=0, y+x+1=0}.

1. а)

   Преобразуем уравнения системы:
   $$2x-3y=8 \Rightarrow y=\frac{2x-8}{3},$$
   $$xy+12=0 \Rightarrow y=-\frac{12}{x}.$$
   Графики прямой и гиперболы не имеют общих точек, значит, система решений не имеет.

2. б)

   $$ (x-y)(x+y)=0 \Rightarrow x-y=0 \text{ или } x+y=0,$$
   то есть
   $$y=x \text{ или } y=-x.$$
   Второе уравнение:
   $$x^2+y^2=4.$$
   Подставим:
   $$y=x \Rightarrow x^2+x^2=4 \Rightarrow 2x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2},$$
   тогда $$y=\pm\sqrt{2}.$$
   При $$y=-x$$ получаем те же точки.

   Следовательно, решения системы:
   $$(-\sqrt{2};-\sqrt{2}),\ (\sqrt{2};\sqrt{2}),\ (-\sqrt{2};\sqrt{2}),\ (\sqrt{2};-\sqrt{2}).$$

3. в)

   Преобразуем уравнения:
   $$y-x^2+x=0 \Rightarrow y=x^2-x,$$
   $$y+x^2+3=0 \Rightarrow y=-x^2-3.$$
   Приравняем правые части:
   $$x^2-x=-x^2-3,$$
   $$2x^2-x+3=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 3=1-24=-23<0.$$ Значит, действительных решений нет.

4. г)

   $$ (y-x^2)(y-2x)=0 \Rightarrow y=x^2 \text{ или } y=2x,$$
   $$y+x+1=0 \Rightarrow y=-x-1.$$

   1) Если $$y=x^2,$$ то
   $$x^2=-x-1,$$
   $$x^2+x+1=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=1-4=-3<0,$$ значит, решений нет.

   2) Если $$y=2x,$$ то
   $$2x=-x-1,$$
   $$3x=-1,$$
   $$x=-\frac13,$$
   $$y=2x=-\frac23.$$

   Итак, система имеет единственное решение:
   $$\left(-\frac13;-\frac23\right).$$

Ответ

а) решений нет;
б) $$(-\sqrt{2};-\sqrt{2}),\ (\sqrt{2};\sqrt{2}),\ (-\sqrt{2};\sqrt{2}),\ (\sqrt{2};-\sqrt{2})$$;
в) решений нет;
г) $$\left(-\frac13;-\frac23\right).$$