Упр.601 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^2-y^2=3; б) x^2-y^2=4; в) x^2-3/y^2=1; г) 4/x^2+y^2=6.

1. а) $$x^2-y^2=3$$

   Разложим разность квадратов:

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3$$

   Так как нужны целые решения, рассмотрим разложения числа $$3$$ на целые множители:

   $$3=1\cdot 3$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} x-y=1,\\ x+y=3 \end{cases} $$

   Складываем уравнения:

   $$2x=4,\quad x=2$$

   Тогда $$y=1$$. По симметрии также подходят пары с противоположными знаками.

   $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1)$$

2. б) $$x^2-y^2=4$$

   Имеем:

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=4$$

   Разложим число $$4$$ на целые множители:

   $$4=2\cdot 2$$

   Тогда:

   $$ \begin{cases} x-y=2,\\ x+y=2 \end{cases} $$

   Складываем:

   $$2x=4,\quad x=2,\quad y=0$$

   С учётом симметрии получаем ещё одну пару:

   $$(-2;0),\;(2;0)$$

3. в) $$x^2-\dfrac{3}{y^2}=1$$

   Так как выражение $$\dfrac{3}{y^2}$$ определено, то $$y\neq 0$$. Проверим возможные целые значения $$y$$.

   Если $$y=\pm 1$$, то:

   $$x^2-3=1$$

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2$$

   Получаем решения:

   $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1)$$

   При $$|y|\ge 2$$ дробь $$\dfrac{3}{y^2}$$ не является целым числом, а левая часть не может равняться целому числу $$1$$ при целых $$x$$. Значит, других целых решений нет.

4. г) $$\dfrac{4}{x^2}+y^2=6$$

   Так как выражение $$\dfrac{4}{x^2}$$ определено, то $$x\neq 0$$. Поскольку $$x$$ — целое, возможны только значения, при которых $$\dfrac{4}{x^2}$$ целое число: $$x=\pm 1,\pm 2$$.

   Проверим:

   Если $$x=\pm 1$$, то

   $$4+y^2=6,\quad y^2=2$$

   Целых решений нет.

   Если $$x=\pm 2$$, то

   $$1+y^2=6,\quad y^2=5$$

   Целых решений нет.

   Следовательно, целых решений нет.

Ответ

а) $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1)$$;

б) $$(-2;0),\;(2;0)$$;

в) $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1)$$;

г) целых решений нет.