Упр.600 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 600. Докажите, что уравнение x^2-8xy+17y^2+2y+1=0 имеет единственное решение.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$x^2-8xy+17y^2+2y+1=0$$

Добавим и вычтем $$y^2$$:

$$x^2-8xy+16y^2+y^2+2y+1=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(x-4y\right)^2+\left(y+1\right)^2=0$$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x-4y=0,$$

$$y+1=0.$$

Отсюда

$$y=-1,$$

$$x=4y=-4.$$

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ

$$x=-4,\ y=-1$$