Упр.60 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 60. Докажите, что функция f(x)=1/(x^3+x) — убывает на каждом из промежутков (-?; 0) и (0; +?).

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}.$$

Область определения: $$x\neq 0,$$ так как знаменатель не должен обращаться в нуль.

Найдём производную:

$$ f'(x)=\left(x^3+x\right)^{-1}{}’=-\frac{3x^2+1}{(x^3+x)^2}. $$

Так как $$3x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ а $$\left(x^3+x\right)^2>0$$ для всех $$x\neq 0,$$ то

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\neq 0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right).$$

Ответ

Функция $$f(x)=\frac{1}{x^3+x}$$ убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right).$$