Упр.595 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {2?|x+1|?4, 1?|y-2|?3}; б) {1?|x+y|?5, 2?|x-y|?4}.
а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2 \le |x+1| \le 4,\\ 1 \le |y-2| \le 3. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 2 \le |x+1| \le 4 $$
даёт два промежутка:
$$ -4 \le x+1 \le -2 \quad \text{или} \quad 2 \le x+1 \le 4. $$
Отсюда
$$ -5 \le x \le -3 \quad \text{или} \quad 1 \le x \le 3. $$
Второе неравенство:
$$ 1 \le |y-2| \le 3 $$
даёт:
$$ -3 \le y-2 \le -1 \quad \text{или} \quad 1 \le y-2 \le 3. $$
Следовательно,
$$ -1 \le y \le 1 \quad \text{или} \quad 3 \le y \le 5. $$
Итак, множество решений — объединение четырёх прямоугольников:
$$ \begin{aligned} &[-5,-3]\times[-1,1],\\ &[-5,-3]\times[3,5],\\ &[1,3]\times[-1,1],\\ &[1,3]\times[3,5]. \end{aligned} $$
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 1 \le |x+y| \le 5,\\ 2 \le |x-y| \le 4. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 1 \le |x+y| \le 5 $$
равносильно двум полосам:
$$ -5 \le x+y \le -1 \quad \text{или} \quad 1 \le x+y \le 5. $$
То есть
$$ -x-5 \le y \le -x-1 \quad \text{или} \quad 1-x \le y \le 5-x. $$
Второе неравенство:
$$ 2 \le |x-y| \le 4 $$
равносильно:
$$ -4 \le x-y \le -2 \quad \text{или} \quad 2 \le x-y \le 4. $$
Отсюда
$$ x-4 \le y \le x-2 \quad \text{или} \quad x+2 \le y \le x+4. $$
Пересечение этих полос даёт четыре параллелограмма — области, ограниченные прямыми
$$ x+y=\pm 1,\ \ x+y=\pm 5,\ \ x-y=\pm 2,\ \ x-y=\pm 4. $$
Ответ
а) Объединение четырёх прямоугольников: $$[-5,-3]\times[-1,1]$$, $$[-5,-3]\times[3,5]$$, $$[1,3]\times[-1,1]$$, $$[1,3]\times[3,5]$$.
б) Объединение четырёх параллелограммов, лежащих между прямыми $$x+y=\pm 1,\ x+y=\pm 5,\ x-y=\pm 2,\ x-y=\pm 4$$.
