Упр.591 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
а) $$\left\{\begin{aligned}|x^2-4|+2y?1,\\3x-5y?4;\end{aligned}\right.$$
б) $$\left\{\begin{aligned}5y-|x^2-9|?0,\\2|y|+6x?-1.\end{aligned}\right.$$ - Заштрихуйте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств $$\left\{\begin{aligned}y-4?x^2-4|x|,\\4x-3y?-12.\end{aligned}\right.$$ Охарактеризуйте её аналитически.
Преобразуем первое неравенство:
$$y-4\le x^2-4|x|$$
$$y\le x^2-4|x|+4$$
$$y\le (|x|-2)^2$$
Второе неравенство:
$$4x-3y\le -12$$
$$3y\ge 4x+12$$
$$y\ge \frac43x+4$$
Значит, искомая фигура — это множество точек, для которых одновременно выполняются условия
$$\frac43x+4\le y\le (|x|-2)^2.$$
Найдём точки пересечения границ.
1) При $$x\ge 0$$ имеем $$y=(x-2)^2.$$ Тогда
$$(x-2)^2=\frac43x+4$$
$$x^2-4x+4=\frac43x+4$$
$$x^2-\frac{16}{3}x=0$$
$$x\left(x-\frac{16}{3}\right)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{16}{3}.$$
Соответствующие точки: $$(0,4)$$ и $$\left(\frac{16}{3},\frac{100}{9}\right).$$
2) При $$x\le 0$$ имеем $$y=(x+2)^2.$$ Тогда
$$(x+2)^2=\frac43x+4$$
$$x^2+4x+4=\frac43x+4$$
$$x^2+\frac83x=0$$
$$x\left(x+\frac83\right)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-\frac83.$$
Соответствующие точки: $$(0,4)$$ и $$\left(-\frac83,\frac{100}{9}\right).$$
Следовательно, решение системы — область, лежащая выше прямой $$y=\frac43x+4$$ и ниже графика $$y=(|x|-2)^2$$ между точками их пересечения.
Ответ
$$\left\{(x,y)\mid \frac43x+4\le y\le (|x|-2)^2\right\}.$$
