Упр.591 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 591. Заштрихуйте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств {y-4?x^2-4|x|, 4x-3y?-12}. Охарактеризуйте ее аналитически.

Преобразуем первое неравенство:

$$y-4\le x^2-4|x|$$

$$y\le x^2-4|x|+4$$

$$y\le (|x|-2)^2$$

Второе неравенство:

$$4x-3y\le -12$$

$$3y\ge 4x+12$$

$$y\ge \frac43x+4$$

Значит, искомая фигура — это множество точек, для которых одновременно выполняются условия

$$\frac43x+4\le y\le (|x|-2)^2.$$

Найдём точки пересечения границ.

1) При $x\ge 0$ имеем $$y=(x-2)^2.$$ Тогда

$$ (x-2)^2=\frac43x+4 $$

$$ x^2-4x+4=\frac43x+4 $$

$$ x^2-\frac{16}{3}x=0 $$

$$ x\left(x-\frac{16}{3}\right)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{16}{3}.$$

Соответствующие точки: $$ (0,4) $$ и $$ \left(\frac{16}{3},\frac{100}{9}\right). $$

2) При $x\le 0$ имеем $$y=(x+2)^2.$$ Тогда

$$ (x+2)^2=\frac43x+4 $$

$$ x^2+4x+4=\frac43x+4 $$

$$ x^2+\frac83x=0 $$

$$ x\left(x+\frac83\right)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=-\frac83.$$

Соответствующие точки: $$ (0,4) $$ и $$ \left(-\frac83,\frac{100}{9}\right). $$

Следовательно, решение системы — область, лежащая выше прямой $$y=\frac43x+4$$ и ниже графика $$y=(|x|-2)^2$$ между точками их пересечения.

Ответ

$$\left\{(x,y)\mid \frac43x+4\le y\le (|x|-2)^2\right\}.$$