Упр.590 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) с наименьшей абсциссой; в) с наибольшей абсциссой;
б) с наименьшей ординатой; г) с наибольшей ординатой.
Система неравенств
$$ \begin{cases} (x-2)^2+(y+2)^2 \le 4,\\ |x|-|y| \le 0 \end{cases} $$
задаёт пересечение круга с центром $$ (2,-2) $$ и радиусом $$2$$ с областью, где
$$|x|\le |y|.$$
Граница второй области состоит из прямых $$y=x$$ и $$y=-x$$, а нужная часть — точки, для которых модуль ординаты не меньше модуля абсциссы.
Найдём крайние точки пересечения.
Точка с наименьшей абсциссой.
Левая крайняя точка круга: $$x=0$$. Подставим в уравнение окружности:
$$ (0-2)^2+(y+2)^2=4 $$
$$ 4+(y+2)^2=4 $$
$$ (y+2)^2=0,\quad y=-2. $$
Получаем точку $$ (0;-2) $$.
Точка с наибольшей абсциссой.
На правой границе области выполняется $$y=-x$$. Подставим в уравнение окружности:
$$ (x-2)^2+(-x+2)^2=4 $$
$$ 2(x-2)^2=4 $$
$$ (x-2)^2=2 $$
$$ x=2\pm \sqrt2. $$
Берём наибольшее значение:
$$ x=2+\sqrt2,\quad y=-2-\sqrt2. $$
Итак, точка $$ (2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2) $$.
Точка с наименьшей ординатой.
Нижняя крайняя точка круга: $$y=-4$$. Подставим в уравнение окружности:
$$ (x-2)^2+(-4+2)^2=4 $$
$$ (x-2)^2+4=4 $$
$$ (x-2)^2=0,\quad x=2. $$
Получаем точку $$ (2;-4) $$.
Точка с наибольшей ординатой.
На верхней границе области выполняется $$y=x$$. Подставим в уравнение окружности:
$$ (x-2)^2+(x+2)^2=4 $$
$$ 2x^2+8=4x+4 $$
$$ 2(x-2)^2=4 $$
$$ (x-2)^2=2 $$
$$ x=2\pm \sqrt2. $$
Берём точку с большей ординатой:
$$ x=2-\sqrt2,\quad y=\sqrt2-2. $$
Итак, точка $$ (2-\sqrt2;\,\sqrt2-2) $$.
Ответ
а) $$ (0;-2) $$;
б) $$ (2;-4) $$;
в) $$ (2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2) $$;
г) $$ (2-\sqrt2;\,\sqrt2-2) $$.
