Упр.59 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 59. Докажите, что функция g(x)=6/(|x|+2) убывает на промежутке [0; +?) и возрастает на промежутке (—?; 0].

Рассмотрим функцию $$g(x)=\frac{6}{|x|+2}.$$

Для положительных значений $$x$$ имеем $$|x|=x,$$ поэтому

$$g(x)=\frac{6}{x+2}, \quad x\ge 0.$$

Так как при увеличении $$x$$ знаменатель $$x+2$$ возрастает, то дробь $$\frac{6}{x+2}$$ убывает на промежутке $$[0;+\infty).$$

Для отрицательных значений $$x$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$g(x)=\frac{6}{-x+2}=\frac{6}{2-x}, \quad x\le 0.$$

При увеличении $$x$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$ знаменатель $$2-x$$ убывает, значит значение дроби возрастает. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0].$$

Кроме того, функция чётная, так как

$$g(-x)=\frac{6}{|-x|+2}=\frac{6}{|x|+2}=g(x).$$

Ответ

Функция $$g(x)=\frac{6}{|x|+2}$$ убывает на $$[0;+\infty)$$ и возрастает на $$(-\infty;0].$$