Упр.588 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Покажите штриховкой в координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств: а) $$\begin{cases}2x-3y\mathrel{?}3,\\x^2+y^2\mathrel{?}16;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}y>x^2-1,\\x^2+y^2\mathrel{?}6{,}25;\end{cases}$$ д) $$\begin{cases}x^2+y^2\mathrel{?}49,\\x^2+y^2\mathrel{?}25;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x^2+y^2\mathrel{?}25,\\\lvert x\rvert\mathrel{?}2{,}5;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}x^2+y^2\mathrel{?}9,\\xy\mathrel{?}0;\end{cases}$$ е) $$\begin{cases}(x-2)^2+(y-2)^2\mathrel{?}16,\\x^2+y^2\mathrel{?}9.\end{cases}$$
- Изобразите множество решений неравенства: а) $$y\mathrel{?}\frac{10}{\lvert x\rvert};$$ в) $$\lvert y\rvert-x^2+2x\mathrel{?}1;$$ б) $$y+\left\lvert\frac{8}{x}\right\rvert\mathrel{?}0;$$ г) $$\lvert y\rvert+x^2-4x\mathrel{?}4.$$
а) $$y \le \frac{10}{|x|}$$
Область определения: $$x \ne 0$$. Граница — график функции $$y=\frac{10}{|x|}$$. Нужно взять все точки, лежащие на графике и ниже него.
б) $$y+\left|\frac{8}{x}\right| \ge 0$$
Перенесём модуль в правую часть:
$$y \ge -\left|\frac{8}{x}\right| = -\frac{8}{|x|}.$$
Область определения: $$x \ne 0$$. Решение — все точки на графике $$y=-\frac{8}{|x|}$$ и выше него.
в) $$|y|-x^2+2x \le 1$$
Перенесём выражение с $$x$$ вправо:
$$|y| \le x^2-2x+1 = (x-1)^2.$$
Значит,
$$-(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2.$$
Это множество точек между параболами $$y=(x-1)^2$$ и $$y=-(x-1)^2$$, включая границы.
г) $$|y|+x^2-4x \ge 4$$
Перенесём:
$$|y| \ge -x^2+4x+4.$$
Преобразуем правую часть:
$$-x^2+4x+4 = -(x-2)^2+8.$$
Граница задаётся уравнением
$$|y| = -x^2+4x+4,$$
то есть
$$y=\pm(-x^2+4x+4).$$
Решение — все точки вне области между этими ветвями, включая границу.
Ответ
а) $$x \ne 0,\; y \le \frac{10}{|x|}$$;
б) $$x \ne 0,\; y \ge -\frac{8}{|x|}$$;
в) $$-(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2$$;
г) $$|y| \ge -x^2+4x+4$$.
