Упр.580 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 580. Опишите системой неравенств меньшую часть круга с центром в точке (0; 0) и радиусом 4, которую отсекает от него прямая, проходящая через точки (—3; 3) и (2; 1).

Уравнение круга с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$4$$:

$$x^2+y^2=16.$$

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$(-3;3)$$ и $$ (2;1).$$

Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{1-3}{2-(-3)}=\frac{-2}{5}.$$

Тогда уравнение прямой имеет вид $$y=kx+b$$, то есть

$$y=-\frac{2}{5}x+b.$$

Подставим точку $$(-3;3):$$

$$3=-\frac{2}{5}\cdot(-3)+b,$$

$$3=\frac{6}{5}+b,$$

$$b=\frac{9}{5}.$$

Следовательно, прямая задаётся уравнением

$$y=-\frac{2}{5}x+\frac{9}{5},$$

или в общем виде

$$2x+5y-9=0.$$

Меньшая часть круга, отсекаемая этой прямой, лежит по ту сторону прямой, где находится начало координат $$O(0;0)$$. Проверим его:

$$2\cdot 0+5\cdot 0-9=-9<0.$$

Значит, нужная часть круга задаётся системой

$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 16,\\ 2x+5y-9\le 0. \end{cases} $$

Ответ

$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 16,\\ 2x+5y-9\le 0. \end{cases} $$