Упр.58 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) если чётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения;
б) если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определения.

а) Пусть функция чётная, то есть $$f(x)=f(-x).$$

Предположим, что на положительной части области определения функция возрастает. Тогда для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ таких, что $$x_2>x_1\ge 0,$$ имеем

$$f(x_2)>f(x_1).$$

Так как функция чётная, то

$$f(-x_2)=f(x_2), \qquad f(-x_1)=f(x_1).$$

Следовательно,

$$f(-x_2)>f(-x_1).$$

Но при этом $$-x_2<-x_1\le 0,$$ значит, при движении слева направо по отрицательной части области определения значения функции возрастают, то есть на $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, если на $$[0;+\infty)$$ она убывает, и убывает, если на $$[0;+\infty)$$ она возрастает. Итак, у чётной функции характер монотонности на отрицательной части области определения противоположен характеру монотонности на положительной части.

б) Пусть функция нечётная, то есть $$f(x)=-f(-x).$$

Предположим, что на положительной части области определения функция возрастает. Тогда для любых $$x_2>x_1\ge 0$$ имеем

$$f(x_2)>f(x_1).$$

Из нечётности получаем

$$f(-x_2)=-f(x_2), \qquad f(-x_1)=-f(x_1).$$

Тогда из неравенства $$f(x_2)>f(x_1)$$ следует

$$-f(x_2)<-f(x_1),$$

то есть

$$f(-x_2)<f(-x_1).$$

Но $$-x_2<-x_1\le 0,$$ значит, на отрицательной части области определения функция тоже возрастает. Аналогично, если на $$[0;+\infty)$$ функция убывает, то и на $$(-\infty;0]$$ она убывает.

Следовательно, у нечётной функции характер монотонности на отрицательной части области определения такой же, как на положительной.

Ответ

а) У чётной функции монотонность на отрицательной части области определения противоположна монотонности на положительной части.
б) У нечётной функции монотонность на отрицательной части области определения такая же, как на положительной части.