Упр.575 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x^2+y^2?25, 1/2 x^2+1/2 y^2?8}; в) {x^2-y?0, xy?12};
б) {(x-3)^2+y^2 < 25, (x+3)^2+y^2 < 25}; г) {xy+3x?6, x^2+y?0}.

1. а)

   $$x^2+y^2\le 25,$$
   $$\frac12x^2+\frac12y^2\ge 8 \;\Rightarrow\; x^2+y^2\ge 16.$$
   Значит, нужно взять точки, для которых
   $$16\le x^2+y^2\le 25.$$
   Это кольцо с центром в начале координат между окружностями радиусов $$4$$ и $$5$$, границы входят.

2. б)

   $$ (x-3)^2+y^2<25, $$
   $$ (x+3)^2+y^2<25. $$
   Это внутренности двух окружностей радиуса $$5$$ с центрами $$ (3,0) $$ и $$ (-3,0) $$. Множество решений — их общая часть, то есть «линза» между окружностями, границы не входят.

3. в)

   $$x^2-y\le 0 \;\Rightarrow\; y\ge x^2,$$
   $$xy\ge 12.$$
   Для второго неравенства:
   $$y\ge \frac{12}{x},\; x>0;$$
   $$y\le \frac{12}{x},\; x<0.$$
   Так как $$y\ge x^2\ge 0,$$ то при $$x<0$$ неравенство $$xy\ge 12$$ невозможно. Следовательно, $$x>0$$, и нужно взять общую часть областей
   $$y\ge x^2 \quad \text{и} \quad y\ge \frac{12}{x}.$$
   Граница проходит по параболе и ветви гиперболы в первой четверти.

4. г)

   $$xy+3x\le 6 \;\Rightarrow\; x(y+3)\le 6,$$
   $$x^2+y\le 0 \;\Rightarrow\; y\le -x^2.$$
   Из первого неравенства:
   $$y\le \frac{6}{x}-3,\; x>0;$$
   $$y\ge \frac{6}{x}-3,\; x<0.$$
   Так как $$y\le -x^2\le 0,$$ то при $$x<0$$ условие $$y\ge \frac{6}{x}-3$$ не даёт подходящей области пересечения с параболой. Поэтому решение задаётся пересечением областей
   $$y\le -x^2 \quad \text{и} \quad y\le \frac{6}{x}-3,\; x>0.$$
   Это область ниже параболы $$y=-x^2$$ и ниже гиперболы $$y=\frac{6}{x}-3$$ в правой полуплоскости.

Ответ

а) $$16\le x^2+y^2\le 25.$$
б) $$ (x-3)^2+y^2<25,\; (x+3)^2+y^2<25 $$ — общая часть кругов.
в) $$x>0,\; y\ge x^2,\; y\ge \frac{12}{x}.$$
г) $$x>0,\; y\le -x^2,\; y\le \frac{6}{x}-3.$$