Упр.571 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Если к знаменателю обыкновенной дроби прибавить $$1$$, то значение этой дроби уменьшится на $$\frac{1}{6}$$; если из знаменателя этой дроби вычесть $$1$$, то значение дроби увеличится на $$\frac{1}{3}$$. Найдите эту дробь.
2. Одна прямая проходит через точки $$(4; 7)$$ и $$(-2; 4)$$, а другая — через точки $$(8; 0)$$ и $$(-6; -7)$$. Докажите, что эти прямые являются границами некоторой полосы. Задайте эту полосу системой неравенств.

Найдём уравнения прямых, проходящих через данные точки.

1) Первая прямая проходит через точки $$(4;7)$$ и $$(-2;4)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{7-4}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Тогда уравнение имеет вид $$y=\frac12x+b$$. Подставим точку $$(4;7)$$:

$$7=\frac12\cdot 4+b,\qquad 7=2+b,\qquad b=5.$$

Значит, первая прямая:

$$y=\frac12x+5.$$

2) Вторая прямая проходит через точки $$(8;0)$$ и $$(-6;-7)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{0-(-7)}{8-(-6)}=\frac{7}{14}=\frac12.$$

Тогда уравнение имеет вид $$y=\frac12x+b$$. Подставим точку $$(8;0)$$:

$$0=\frac12\cdot 8+b,\qquad 0=4+b,\qquad b=-4.$$

Значит, вторая прямая:

$$y=\frac12x-4.$$

Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $$\frac12$$, следовательно, они параллельны и являются границами некоторой полосы.

Эта полоса задаётся системой неравенств:

$$\begin{cases} y\le \frac12x+5,\\ y\ge \frac12x-4. \end{cases}$$

Или, умножив неравенства на $$2$$:

$$\begin{cases} 2y-x\le 10,\\ 2y-x\ge -8. \end{cases}$$

Ответ

$$\begin{cases} 2y-x\le 10,\\ 2y-x\ge -8. \end{cases}$$