Упр.570 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 570. Докажите, что четырёхугольник, заданный системой неравенств {0?x-y?4, -4?x+y?4}, является прямоугольником. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makarichev_ugl9 570 95

Подробный ответ

Рассмотрим систему неравенств

$$ \begin{cases} 0 \le x-y \le 4,\\ -4 \le x+y \le 4. \end{cases} $$

Первое неравенство равносильно системе

$$ \begin{cases} y \le x,\\ y \ge x-4. \end{cases} $$

То есть область ограничена прямыми $$y=x$$ и $$y=x-4$$.

Второе неравенство равносильно системе

$$ \begin{cases} y \ge -x-4,\\ y \le 4-x. \end{cases} $$

То есть область ограничена прямыми $$y=-x-4$$ и $$y=4-x$$.

Полученная фигура ограничена двумя парами параллельных прямых:

$$ y=x,\quad y=x-4,\quad y=-x-4,\quad y=4-x. $$

Причём

$$ k_1=1,\qquad k_2=-1,\qquad k_1 \cdot k_2=-1, $$

значит, эти прямые перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник имеет две пары параллельных сторон и прямой угол, то есть является прямоугольником.