Упр.568 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Докажите, что при любом значении параметра $$m$$ система уравнений $$\left\{\begin{aligned}2xy-3y^2&=0,\\x+y&=m\end{aligned}\right.$$ имеет решение.
Начертите четырёхугольник, заданный системой неравенств $$\left\{\begin{aligned}\frac{1}{3}x-3?y? \frac{1}{2}x+4,\\-\frac{1}{3}x-1?y?-\frac{2}{3}x+5.\end{aligned}\right.$$

Подробный ответ

Изобразим на координатной плоскости прямые:

$$y=\frac13x-3,\qquad y=\frac12x+4,$$

$$y=-\frac13x-1,\qquad y=-\frac23x+5.$$

Нужная область задаётся системой

$$\begin{cases} \frac13x-3\le y\le \frac12x+4,\\ -\frac13x-1\le y\le -\frac23x+5. \end{cases}$$

Найдём вершины четырёхугольника как точки пересечения граничных прямых.

1) $$\frac13x-3=-\frac13x-1$$

$$\frac23x=2,\quad x=3,\quad y=-2.$$

Получаем точку $$A(3,-2).$$

2) $$\frac13x-3=-\frac23x+5$$

$$x=8,\quad y=-\frac13\cdot 8-1=-\frac{11}{3}.$$

Получаем точку $$B\left(8,-\frac{11}{3}\right).$$

3) $$\frac12x+4=-\frac13x-1$$

$$\frac56x=-5,\quad x=-6,\quad y=1.$$

Получаем точку $$C(-6,1).$$

4) $$\frac12x+4=-\frac23x+5$$

$$\frac76x=1,\quad x=\frac67,\quad y=\frac12\cdot\frac67+4=\frac{31}{7}.$$

Получаем точку $$D\left(\frac67,\frac{31}{7}\right).$$

Следовательно, искомая фигура — четырёхугольник с вершинами $$C(-6,1),\ D\left(\frac67,\frac{31}{7}\right),\ A(3,-2),\ B\left(8,-\frac{11}{3}\right).$$