Упр.566 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}(x-y)^2+2(x-y)=3,\\3x^2+xy+y^2=27;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\frac{1}{2}(x+y)^2-x-y=4,\\\frac{1}{2}x^2+xy+\frac{1}{4}y^2=-2.\end{cases}$$
2. При каких значениях $$a$$ и $$c$$ системой $$\begin{cases}2x-y=3c,\\ax+3y=4\end{cases}$$ можно задать:
   а) полосу;
   б) угол;
   в) пустое множество;
   г) прямую?

Преобразуем неравенства системы к виду с y:

$$2x-y<3c \;\Rightarrow\; y>2x-3c,$$
$$ax+3y\le 4 \;\Rightarrow\; y\le \frac{4}{3}-\frac{a}{3}x.$$

Границами области являются прямые

$$y=2x-3c \quad \text{и} \quad y=\frac{4}{3}-\frac{a}{3}x.$$

Их взаимное расположение определяется коэффициентами наклона:

$$k_1=2,\qquad k_2=-\frac{a}{3}.$$

а) Полоса. Для полосы прямые должны быть параллельны, но не совпадать:

$$-\frac{a}{3}=2 \;\Rightarrow\; a=-6,$$
$$-3c\ne \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; c\ne -\frac{4}{9}.$$

б) Угол. Для угла прямые должны пересекаться:

$$-\frac{a}{3}\ne 2 \;\Rightarrow\; a\ne -6.$$

в) Пустое множество. Это возможно, когда прямые параллельны и область между ними отсутствует:

$$-\frac{a}{3}=2 \;\Rightarrow\; a=-6,$$
$$-3c>\frac{4}{3} \;\Rightarrow\; c<-\frac{4}{9}.$$

г) Прямая. Это происходит, когда границы совпадают:

$$-\frac{a}{3}=2 \;\Rightarrow\; a=-6,$$
$$-3c=\frac{4}{3} \;\Rightarrow\; c=-\frac{4}{9}.$$

Ответ

а) $$a=-6,\; c\ne -\frac{4}{9}$$;
б) $$a\ne -6$$;
в) $$a=-6,\; c<-\frac{4}{9}$$;
г) $$a=-6,\; c=-\frac{4}{9}$$.