Упр.560 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {x^2-xy+6y^2=0, 20-2xy+y^2=0};
б) {4x^2+xy=1, 5xy+y^2=-6}.
а) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$x^2-xy-6y^2=0.$$
Тогда
$$D=y^2+24y^2=25y^2,$$
и корни равны
$$x_1=\frac{y-5y}{2}=-2y,\qquad x_2=\frac{y+5y}{2}=3y.$$
Подставим в второе уравнение $$20-2xy+y^2=0.$$
1) Если $$x=-2y,$$ то
$$20-2(-2y)\cdot y+y^2=0,$$
$$20+5y^2=0,$$
откуда действительных решений нет.
2) Если $$x=3y,$$ то
$$20-2\cdot 3y\cdot y+y^2=0,$$
$$20-5y^2=0,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=3y=\pm 6.$$
Получаем решения: $$(-6;\,-2)$$ и $$ (6;\,2).$$
б) Из первого уравнения выразим $$xy$$:
$$4x^2+xy=1,$$
$$xy=1-4x^2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5xy+y^2=-6,$$
$$5(1-4x^2)+y^2=-6.$$
Так как $$y=\dfrac{1-4x^2}{x}$$ при $$x\ne 0,$$ подставим это выражение:
$$5x\cdot \frac{1-4x^2}{x}+\left(\frac{1-4x^2}{x}\right)^2=-6.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$5x^2(1-4x^2)+(1-4x^2)^2=-6x^2.$$
Раскроем скобки:
$$5x^2-20x^4+1-8x^2+16x^4=-6x^2,$$
$$4x^4-3x^2-1=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$4t^2-3t-1=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$t_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\qquad t_2=\frac{3+5}{8}=1.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$t_1$$ не подходит, а из $$x^2=1$$ получаем
$$x=\pm 1.$$
Найдём $$y$$:
при $$x=1$$
$$y=\frac{1-4\cdot 1^2}{1}=-3,$$
при $$x=-1$$
$$y=\frac{1-4\cdot 1}{-1}=3.$$
Получаем решения: $$(-1;\,3)$$ и $$ (1;\,-3).$$
Ответ
а) $$(-6;\,-2),\ (6;\,2)$$
б) $$(-1;\,3),\ (1;\,-3)$$
