Упр.56 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) f(x)=(?(x)+?(-x))/2 — чётная функция;
б) f(x)=(?(x)-?(-x))/2 — нечётная функция.

Пусть $$D(\varphi)$$ — множество, симметричное относительно нуля. Значит, если $$x \in D(\varphi)$$, то и $$-x \in D(\varphi)$$.

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{\varphi(x)+\varphi(-x)}{2}.$$

Найдём $$f(-x)$$:

$$ f(-x)=\frac{\varphi(-x)+\varphi(-(-x))}{2} =\frac{\varphi(-x)+\varphi(x)}{2} =\frac{\varphi(x)+\varphi(-x)}{2} =f(x). $$

Следовательно, $$f(x)$$ — чётная функция.

б) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{2}.$$

Найдём $$f(-x)$$:

$$ f(-x)=\frac{\varphi(-x)-\varphi(-(-x))}{2} =\frac{\varphi(-x)-\varphi(x)}{2} =-\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{2} =-f(x). $$

Следовательно, $$f(x)$$ — нечётная функция.

Ответ

а) $$f(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)}{2}$$ — чётная функция;
б) $$f(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{2}$$ — нечётная функция.