Упр.55 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(Считаем, что функция f(x) отлична от нулевой функции.)

Рассмотрим функцию $$\varphi(x)=x^2\cdot f(-x).$$

Найдём значение при $$-x$$:

$$\varphi(-x)=(-x)^2\cdot f(x)=x^2\cdot f(x).$$

а) Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Тогда

$$\varphi(x)=x^2\cdot f(-x)=x^2\cdot f(x),$$

и

$$\varphi(-x)=x^2\cdot f(x)=\varphi(x).$$

Значит, $$\varphi(x)$$ — чётная функция.

б) Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Тогда

$$\varphi(x)=x^2\cdot f(-x)=-x^2\cdot f(x),$$

а

$$\varphi(-x)=x^2\cdot f(x)=-\varphi(x).$$

Значит, $$\varphi(x)$$ — нечётная функция.

Ответ

а) чётная; б) нечётная.