Упр.549 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При реконструкции спортивного комплекса отремонтировали бассейн. При этом две трубы, через которые он наполнялся, были заменены одной. Диаметры старых труб равны $$2{,}5\ \text{см}$$ и $$6\ \text{см}$$. Каков диаметр новой трубы, если бассейн с её помощью наполняется за то же время, что и двумя старыми трубами?
2. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}2x^2-y^2=4,\\x^2+3y^2-5x=6;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}5x-y-2=0,\\x^2-2xy+y^2=4.\end{cases}$$

а)

Из первого уравнения выразим $$y^2$$:

$$2x^2-y^2=4$$

$$y^2=2x^2-4.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+3y^2-5x=6$$

$$x^2+3(2x^2-4)-5x=6$$

$$7x^2-5x-18=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 7\cdot(-18)=25+504=529,$$

$$x=\frac{5\pm 23}{14}.$$

Тогда

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{9}{7}.$$

Проверим значения.

При $$x=2$$:

$$y^2=2\cdot 2^2-4=4,$$

$$y=\pm 2.$$

Получаем точки $$(2;2)$$ и $$(2;-2).$$

При $$x=-\frac{9}{7}$$:

$$y^2=2\cdot \frac{81}{49}-4=\frac{162}{49}-\frac{196}{49}=-\frac{34}{49},$$

что невозможно для действительных чисел.

Значит, решений больше нет.

б)

Из второго уравнения:

$$x^2-2xy+y^2=4$$

$$(x-y)^2=4,$$

откуда

$$x-y=\pm 2.$$

1) Если $$x-y=2,$$ то $$y=x-2.$$ Подставим в первое уравнение:

$$5x-y-2=0$$

$$5x-(x-2)-2=0$$

$$4x=0,$$

$$x=0,\qquad y=-2.$$

2) Если $$x-y=-2,$$ то $$y=x+2.$$ Подставим:

$$5x-(x+2)-2=0$$

$$4x=4,$$

$$x=1,\qquad y=3.$$

Ответ

а) $$(2;2),\ (2;-2)$$

б) $$(0;-2),\ (1;3)$$