Упр.549 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2-y^2=4, x^2+3y^2-5x=6};
б) {5x-y-2=0, x^2-2xy+y^2=4}.

а)

Из первого уравнения выразим $$y^2$$:

$$2x^2-y^2=4$$

$$y^2=2x^2-4.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+3y^2-5x=6$$

$$x^2+3(2x^2-4)-5x=6$$

$$7x^2-5x-18=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 7\cdot(-18)=25+504=529,$$

$$x=\frac{5\pm 23}{14}.$$

Тогда

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{9}{7}.$$

Проверим значения.

При $$x=2$$:

$$y^2=2\cdot 2^2-4=4,$$

$$y=\pm 2.$$

Получаем точки $$ (2;2) $$ и $$ (2;-2).$$

При $$x=-\frac{9}{7}$$:

$$y^2=2\cdot \frac{81}{49}-4=\frac{162}{49}-\frac{196}{49}=-\frac{34}{49},$$

что невозможно для действительных чисел.

Значит, решений больше нет.

б)

Из второго уравнения:

$$x^2-2xy+y^2=4$$

$$ (x-y)^2=4,$$

откуда

$$x-y=\pm 2.$$

1) Если $$x-y=2,$$ то $$y=x-2.$$ Подставим в первое уравнение:

$$5x-y-2=0$$

$$5x-(x-2)-2=0$$

$$4x=0,$$

$$x=0,\qquad y=-2.$$

2) Если $$x-y=-2,$$ то $$y=x+2.$$ Подставим:

$$5x-(x+2)-2=0$$

$$4x=4,$$

$$x=1,\qquad y=3.$$

Ответ

а) $$ (2;2),\ (2;-2) $$

б) $$ (0;-2),\ (1;3) $$