Упр.54 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(Считаем, что функция f(x) отлична от нулевой функции.)

Рассмотрим функцию $$\varphi(x)=x\cdot f(x).$$

Проверим её значение при $$-x$$.

1. Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Тогда

   $$ \varphi(-x)=(-x)\cdot f(-x)=(-x)\cdot f(x)=-x\cdot f(x)=-\varphi(x). $$

   Значит, $$\varphi(x)$$ — нечётная функция.

2. Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Тогда

   $$ \varphi(-x)=(-x)\cdot f(-x)=(-x)\cdot(-f(x))=x\cdot f(x)=\varphi(x). $$

   Значит, $$\varphi(x)$$ — чётная функция.

Ответ

а) нечётная; б) чётная.