Упр.537 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2+xy=6, 3x^2+xy-x=6};
б) {3x^2-2y^2=25, x^2-y^2+y=5}.

а)

Из первого уравнения выразим $$xy$$:

$$2x^2+xy=6 \Rightarrow xy=6-2x^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$3x^2+xy-x=6$$

$$3x^2+(6-2x^2)-x=6$$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.

Если $$x=0$$, то из $$xy=6-2x^2$$ получаем $$0=6$$, что невозможно.

Если $$x=1$$, то

$$y=6-2\cdot 1^2=4.$$

Значит, решение системы: $$(1;4).$$

б)

Из первого уравнения выразим $$x^2$$:

$$3x^2-2y^2=25 \Rightarrow 3x^2=2y^2+25 \Rightarrow x^2=\frac{2y^2+25}{3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-y^2+y=5$$

$$\frac{2y^2+25}{3}-y^2+y=5.$$

Умножим на $$3$$:

$$2y^2+25-3y^2+3y=15$$

$$y^2-3y-10=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-5\right)\left(y+2\right)=0.$$

Отсюда $$y=5$$ или $$y=-2$$.

1) Если $$y=-2$$, то

$$x^2=\frac{2\cdot 4+25}{3}=11,$$

значит, $$x=\pm\sqrt{11}.$$

Получаем пары $$(\sqrt{11};-2)$$ и $$(-\sqrt{11};-2).$$

2) Если $$y=5$$, то

$$x^2=\frac{2\cdot 25+25}{3}=25,$$

значит, $$x=\pm 5.$$

Получаем пары $$(5;5)$$ и $$(-5;5).$$

Ответ

а) $$(1;4).$$

б) $$(\sqrt{11};-2),\;(-\sqrt{11};-2),\;(5;5),\;(-5;5).$$