Упр.536 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 536. Трое рабочих должны выполнить некоторую работу. Если третий проработает 12 ч, то для окончания работы первому потребуется 30 ч, а второму — 45 ч. Производительность третьего рабочего равна среднему арифметическому производительности остальных рабочих. За сколько часов может выполнить всю работу каждый рабочий?
Обозначим через $$x$$, $$y$$ и $$z$$ время, за которое всю работу выполнят первый, второй и третий рабочие соответственно.
Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$, $$\frac{1}{y}$$ и $$\frac{1}{z}$$.
По условию производительность третьего рабочего равна среднему арифметическому производительностей первого и второго:
$$\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}=\frac{x+y}{2xy}, \qquad z=\frac{2xy}{x+y}.$$
Если третий рабочий проработает 12 ч, то для окончания работы первому потребуется 30 ч, а второму — 45 ч. Значит, за это время они вместе выполнят всю работу:
$$\frac{12}{z}+\frac{30}{x}=1,$$
$$\frac{12}{z}+\frac{45}{y}=1.$$
Подставим $$z=\frac{2xy}{x+y}$$ в первое уравнение:
$$\frac{12}{\frac{2xy}{x+y}}+\frac{30}{x}=1,$$
$$\frac{6(x+y)}{xy}+\frac{30}{x}=1.$$
Умножим на $$xy$$:
$$6x+6y+30y=xy,$$
$$6x+36y=xy,$$
$$y(x-36)=6x,$$
$$y=\frac{6x}{x-36}.$$
Теперь подставим $$z=\frac{2xy}{x+y}$$ во второе уравнение:
$$\frac{12}{\frac{2xy}{x+y}}+\frac{45}{y}=1,$$
$$\frac{6(x+y)}{xy}+\frac{45}{y}=1.$$
Умножим на $$xy$$:
$$6x+6y+45x=xy,$$
$$51x+6y=xy,$$
$$y(x-6)=51x,$$
$$y=\frac{51x}{x-6}.$$
Приравняем полученные выражения для $$y$$:
$$\frac{6x}{x-36}=\frac{51x}{x-6}.$$
Так как $$x>0$$, сокращаем на $$x$$ и перемножаем крест-накрест:
$$6(x-6)=51(x-36),$$
$$6x-36=51x-1836,$$
$$1800=45x,$$
$$x=40.$$
Тогда
$$y=\frac{6\cdot 40}{40-36}=60,$$
$$z=\frac{2\cdot 40\cdot 60}{40+60}=48.$$
Проверка: $$\frac{1}{48}=\frac{\frac{1}{40}+\frac{1}{60}}{2}$$, условие выполняется.
Ответ
Первый рабочий выполнит всю работу за $$40$$ ч, второй — за $$60$$ ч, третий — за $$48$$ ч.
