Упр.535 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 535. Сумма квадратов чисел единиц в крайних разрядах трёхзначного числа равна 25. Разность квадратов чисел единиц в среднем и последнем разрядах равна квадрату числа единиц первого разряда. Если из искомого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите трёхзначное число.

Пусть $$x, y, z$$ — цифры трёхзначного числа, тогда само число равно $$100x+10y+z$$, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — $$100z+10y+x$$.

По условию получаем систему:

$$ \begin{cases} 100x+10y+z-99=100z+10y+x,\\ x^2+z^2=25,\\ y^2-z^2=x^2. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 100x+10y+z-99=100z+10y+x $$

$$ 99x-99z=99 $$

$$ x-z=1,\quad x=z+1. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ (z+1)^2+z^2=25 $$

$$ z^2+2z+1+z^2=25 $$

$$ 2z^2+2z-24=0 $$

$$ z^2+z-12=0 $$

$$ (z+4)(z-3)=0 $$

Отсюда $$z=-4$$ или $$z=3$$. Так как $$z$$ — цифра, то $$z=3$$.

Тогда $$x=z+1=4$$.

Теперь найдём $$y$$ из третьего уравнения:

$$ y^2-3^2=4^2 $$

$$ y^2-9=16 $$

$$ y^2=25 $$

$$ y=5 $$

Искомое число:

$$ 100x+10y+z=100\cdot 4+10\cdot 5+3=453. $$

Ответ

453