Упр.535 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$3x^2-2|x-5|-3=0$$; б) $$2x^2+3|x+4|-2=0$$.
2. Сумма квадратов чисел единиц в крайних разрядах трёхзначного числа равна 25. Разность квадратов чисел единиц в среднем и последнем разрядах равна квадрату числа единиц первого разряда. Если из искомого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите трёхзначное число.

Пусть $$x, y, z$$ — цифры трёхзначного числа, тогда само число равно $$100x+10y+z$$, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — $$100z+10y+x$$.

По условию получаем систему:

$$\begin{cases} 100x+10y+z-99=100z+10y+x,\\ x^2+z^2=25,\\ y^2-z^2=x^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$100x+10y+z-99=100z+10y+x$$

$$99x-99z=99$$

$$x-z=1,\quad x=z+1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(z+1)^2+z^2=25$$

$$z^2+2z+1+z^2=25$$

$$2z^2+2z-24=0$$

$$z^2+z-12=0$$

$$(z+4)(z-3)=0$$

Отсюда $$z=-4$$ или $$z=3$$. Так как $$z$$ — цифра, то $$z=3$$.

Тогда $$x=z+1=4$$.

Теперь найдём $$y$$ из третьего уравнения:

$$y^2-3^2=4^2$$

$$y^2-9=16$$

$$y^2=25$$

$$y=5$$

Искомое число:

$$100x+10y+z=100\cdot 4+10\cdot 5+3=453.$$

Ответ

453