Упр.533 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Как из графика уравнения $$x^2+y^2=16$$ получить график уравнения $$4(x-2)^2+9(2y+4)^2=16$$?
Из сосуда, наполненного глицерином, отлили $$1\ \text{л}$$ глицерина, а взамен долили $$1\ \text{л}$$ воды. Затем отлили $$1\ \text{л}$$ смеси и вновь долили $$1\ \text{л}$$ воды. Наконец ещё раз отлили $$1\ \text{л}$$ смеси и долили $$1\ \text{л}$$ воды. В результате этих операций объём воды в сосуде оказался в семь раз больше объёма оставшегося глицерина. Сколько жидкости вмещает сосуд?

Подробный ответ

Пусть в сосуде было $$x$$ л глицерина.

После каждого раза, когда из сосуда отливают 1 л смеси и доливают 1 л воды, количество глицерина уменьшается в $$x-1$$ раз по отношению к прежнему объёму смеси. Значит, после трёх таких операций останется

$$x\left(\frac{x-1}{x}\right)^3$$

литров глицерина, а объём воды будет равен

$$x-x\left(\frac{x-1}{x}\right)^3.$$

По условию, воды стало в 7 раз больше, чем глицерина:

$$x-x\left(\frac{x-1}{x}\right)^3=7x\left(\frac{x-1}{x}\right)^3.$$

Тогда

$$x=8x\left(\frac{x-1}{x}\right)^3,$$

$$1=8\left(\frac{x-1}{x}\right)^3,$$

$$\left(\frac{x-1}{x}\right)^3=\frac18,$$

$$\frac{x-1}{x}=\frac12.$$

Решаем уравнение:

$$2(x-1)=x,$$