Упр.526 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 526. Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.

Подробный ответ

Обозначим скорость легкового автомобиля через $$x$$ км/ч, а скорость грузового — через $$y$$ км/ч.

По условию на путь 360 км легковой автомобиль затратил на 2 ч меньше, чем грузовой:

$$\frac{360}{x}=\frac{360}{y}-2.$$

Если увеличить скорости обоих автомобилей на 30 км/ч, то грузовой автомобиль будет ехать на 1 ч дольше легкового:

$$\frac{360}{y+30}=\frac{360}{x+30}+1.$$

Из первого уравнения получим:

$$\frac{360}{x}-\frac{360}{y}=-2,$$

$$360y-360x=-2xy,$$

$$xy-180y+180x=0,$$

$$y(180-x)=180x,$$

$$y=\frac{180x}{180-x}.$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$\frac{360}{\frac{180x}{180-x}+30}=\frac{360}{x+30}+1.$$

После преобразований получаем:

$$7x^2-330x-5400=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=330^2+4\cdot 7\cdot 5400=260100,$$

$$\sqrt{D}=510.$$

Тогда

$$x=\frac{330\pm 510}{14}.$$

Получаем два значения: $$x_1=-\frac{90}{7}$$ и $$x_2=60.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, берём $$x=60$$ км/ч.

Тогда

$$y=\frac{180\cdot 60}{180-60}=90.$$

Проверка: $$\frac{360}{60}=6$$ ч, $$\frac{360}{90}=4$$ ч, разность равна 2 ч. После увеличения скоростей: $$90/ч$$ и $$120/ч$$, времена равны $$4$$ ч и $$3$$ ч, разность равна 1 ч.