Упр.525 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 525. Бассейн, объёмом 425 м^3 можно наполнить за 17 ч, если одновременно открыть два крана. Но первый кран был открыт на 5 ч дольше, чем второй. Если первый кран открыть на столько часов, сколько был открыт второй, а второй — на столько, сколько был открыт первый, то через первый кран поступит вдвое меньше воды, чем через второй. Сколько времени был открыт второй кран?

Обозначим:

$$x$$ м³/ч — производительность первого крана,

$$y$$ м³/ч — производительность второго крана,

$$t$$ ч — время, в течение которого был открыт первый кран.

Тогда второй кран был открыт $$t-5$$ ч.

Составим уравнения.

1) За 17 ч оба крана вместе наполняют бассейн объёмом 425 м³:

$$17(x+y)=425,$$

откуда

$$x+y=25,$$

$$y=25-x.$$

2) По условию, если первый кран открыт $$t$$ ч, а второй $$t-5$$ ч, то вместе они снова дают 425 м³:

$$tx+(t-5)y=425.$$

Подставим $$y=25-x$$:

$$tx+(t-5)(25-x)=425,$$

$$tx+25t-125-5x-tx=425,$$

$$25t-5x=550,$$

$$x=110-5t.$$

3) Если первый кран открыт $$t-5$$ ч, а второй $$t$$ ч, то через первый поступит вдвое меньше воды, чем через второй:

$$x(t-5)=\frac{1}{2}yt,$$

или

$$ty=2x(t-5).$$

Подставим $$y=25-x$$ и $$x=110-5t$$:

$$t(25-x)=2x(t-5),$$

$$t\bigl(25-(110-5t)\bigr)=2(110-5t)(t-5),$$

$$t(5t-85)=2(110-5t)(t-5).$$

После упрощения получаем:

$$3t^2-71t+220=0.$$

Найдём корни:

$$D=71^2-4\cdot 3\cdot 220=2401,$$

$$t=\frac{71\pm 49}{6}.$$

Тогда

$$t_1=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}, \qquad t_2=\frac{120}{6}=20.$$

Так как второй кран был открыт $$t-5$$ ч, то

$$t_1-5=\frac{11}{3}-5<0,$$

это не подходит. Значит,

$$t=20,$$

и второй кран был открыт

$$20-5=15$$ ч.

Ответ

15 ч.