Упр.524 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 524. Двое рабочих могут выполнить задание за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им потребуется 25 дней. За сколько дней каждый рабочий, работая один, может выполнить задание?

Обозначим через $$x$$ и $$y$$ время, за которое первый и второй рабочие выполняют всю работу поодиночке.

Тогда их совместная работа за 1 день равна $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$, а по условию:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$

Если сначала один рабочий сделает половину работы, а потом второй выполнит оставшуюся половину, то затраченное время равно

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25,$$

откуда

$$x+y=50.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=50,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{12}.$$

Подставим $$x+y=50$$:

$$\frac{50}{xy}=\frac{1}{12}, \quad xy=600.$$

Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-50t+600=0.$$

Найдём корни:

$$D=50^2-4\cdot 600=2500-2400=100,$$

$$t=\frac{50\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=20,\quad t_2=30.$$

Значит, один рабочий выполняет работу за 20 дней, другой — за 30 дней.

Ответ

20 дней и 30 дней.