Упр.521 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что четырёхугольник, заданный системой неравенств $$0\le x-y\le 4,\quad -4\le x+y\le 4$$, является прямоугольником.
2. Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин. Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится $$\frac{2}{3}$$ бассейна. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?

Пусть $$x$$ мин — время, за которое бассейн наполнится первой трубой, а $$y$$ мин — время, за которое бассейн наполнится второй трубой.

Тогда за 1 минуту первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а вторая — $$\frac{1}{y}$$ бассейна.

По условию:

$$\frac{12}{x}+\frac{7}{y}=1$$
$$\frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{2}{3}$$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$\frac{18}{x}+\frac{18}{y}=2$$

Умножим первое уравнение на $$6$$:

$$\frac{72}{x}+\frac{42}{y}=6$$

Удобнее решить систему, выразив из второго уравнения:

$$\frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{2}{3}$$
$$\frac{18}{x}+\frac{18}{y}=2$$

Из второго уравнения получаем:

$$\frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{9}$$

Теперь из первого уравнения:

$$12\cdot \frac{1}{x}+7\cdot \frac{1}{y}=1$$

Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} 12a+7b=1,\\ a+b=\frac{1}{9}. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$a=\frac{1}{9}-b$$. Подставим в первое:

$$12\left(\frac{1}{9}-b\right)+7b=1$$
$$\frac{4}{3}-12b+7b=1$$
$$\frac{4}{3}-5b=1$$
$$5b=\frac{1}{3}$$
$$b=\frac{1}{15}$$

Значит,

$$\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$$
$$y=15$$

Следовательно, вторая труба одна наполнит бассейн за $$15$$ минут.

Ответ

$$15$$ мин.