Упр.521 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 521. Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин. Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 2/3 бассейна. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?

Пусть $$x$$ мин — время, за которое бассейн наполнится первой трубой, а $$y$$ мин — время, за которое бассейн наполнится второй трубой.

Тогда за 1 минуту первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а вторая — $$\frac{1}{y}$$ бассейна.

По условию:

$$ \frac{12}{x}+\frac{7}{y}=1 $$
$$ \frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{2}{3} $$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$ \frac{18}{x}+\frac{18}{y}=2 $$

Умножим первое уравнение на $$6$$:

$$ \frac{72}{x}+\frac{42}{y}=6 $$

Удобнее решить систему, выразив из второго уравнения:

$$ \frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{2}{3} $$
$$ \frac{18}{x}+\frac{18}{y}=2 $$

Из второго уравнения получаем:

$$ \frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{3} $$
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{9} $$

Теперь из первого уравнения:

$$ 12\cdot \frac{1}{x}+7\cdot \frac{1}{y}=1 $$

Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} 12a+7b=1,\\ a+b=\frac{1}{9}. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$a=\frac{1}{9}-b$$. Подставим в первое:

$$ 12\left(\frac{1}{9}-b\right)+7b=1 $$
$$ \frac{4}{3}-12b+7b=1 $$
$$ \frac{4}{3}-5b=1 $$
$$ 5b=\frac{1}{3} $$
$$ b=\frac{1}{15} $$

Значит,

$$ \frac{1}{y}=\frac{1}{15} $$
$$ y=15 $$

Следовательно, вторая труба одна наполнит бассейн за $$15$$ минут.

Ответ

$$15$$ мин.