Упр.52 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) g(x)=2x^3+4sgn(x)-1/4; в) g(x)=([x]+{x})/(x^3·sgn(x));
б) g(x)=-3x^5·|x|·sgn(x); г) g(x)=v(sgn(x^2-2))/x^3.

Подробный ответ

Исследуем каждую функцию на чётность, используя свойства:

нечётная функция при умножении на нечётную даёт чётную;
чётная функция, делённая на нечётную, даёт нечётную;
сумма нечётной и чётной функций не является ни чётной, ни нечётной.

а) $$g(x)=2x^3+4\operatorname{sgn}x-\frac14$$
$$2x^3$$ — нечётная функция, $$\operatorname{sgn}x$$ — нечётная функция, $$-\frac14$$ — постоянная (чётная) функция.
Сумма нечётной и чётной функций не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
б) $$g(x)=-3x^5\cdot |x|\cdot \operatorname{sgn}x$$
$$x^5$$ — нечётная функция, $$|x|$$ — чётная функция, $$\operatorname{sgn}x$$ — нечётная функция.
Произведение нечётной, чётной и нечётной функций является чётной функцией.
Ответ: чётная.
в) $$g(x)=\frac{[x]+\{x\}}{x^3\cdot \operatorname{sgn}x}$$
Так как $$[x]+\{x\}=x$$, то
$$g(x)=\frac{x}{x^3\cdot \operatorname{sgn}x}=\frac{1}{x^2\cdot \operatorname{sgn}x}.$$
Здесь $$x^2$$ — чётная функция, $$\operatorname{sgn}x$$ — нечётная функция, значит знаменатель нечётный, а обратная к нему функция тоже нечётная.
Ответ: нечётная.
г) $$g(x)=\frac{\sqrt{\operatorname{sgn}(x^2-2)}}{x^3}$$
$$x^2-2$$ — чётная функция, значит $$\operatorname{sgn}(x^2-2)$$ — чётная функция, а $$\sqrt{\operatorname{sgn}(x^2-2)}$$ также чётная.
Так как $$x^3$$ — нечётная функция, то отношение чётной функции к нечётной является нечётной функцией.
Ответ: нечётная.