Упр.516 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 516. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а площадь равна 24 см^2. Найдите стороны треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$ см, а гипотенуза — $$c$$ см.

Тогда по условию:

$$x+y+c=24,$$

$$\frac{1}{2}xy=24.$$

Из второго уравнения получаем:

$$xy=48,$$

$$y=\frac{48}{x}.$$

По теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Подставим $$y=\frac{48}{x}$$ в первое уравнение:

$$\sqrt{x^2+\left(\frac{48}{x}\right)^2}=24-x-\frac{48}{x}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+\frac{2304}{x^2}=x^2+\frac{2304}{x^2}-48x-\frac{2304}{x}+672,$$

откуда

$$48x-672+\frac{2304}{x}=0.$$

Умножим на $$x$$:

$$48x^2-672x+2304=0,$$

$$x^2-14x+48=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}.$$

Тогда

$$x_1=6,\quad x_2=8.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=\frac{48}{6}=8,\qquad y=\frac{48}{8}=6.$$

Гипотенуза:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Следовательно, стороны треугольника равны $$6$$ см, $$8$$ см и $$10$$ см.

Ответ

$$6\text{ см},\ 8\text{ см},\ 10\text{ см}.$$