Упр.514 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 514. (Задача Диофанта, III в.) Найдите два числа, если их отношение равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Пусть данные числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию

$$\frac{y}{x}=3,\qquad \frac{x^2+y^2}{x+y}=5.$$

Из первого уравнения получаем:

$$y=3x.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{x^2+(3x)^2}{x+3x}=5.$$

Упростим:

$$\frac{x^2+9x^2}{4x}=5,$$

$$\frac{10x^2}{4x}=5,$$

$$10x^2=20x,$$

$$10x(x-2)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Значение $$x=0$$ не подходит, так как в первом уравнении есть деление на $$x$$. Значит, $$x=2$$.

Тогда

$$y=3x=6.$$

Проверка:

$$\frac{6}{2}=3,\qquad \frac{2^2+6^2}{2+6}=\frac{4+36}{8}=5.$$

Ответ

$$2$$ и $$6$$.