Упр.51 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) f(x)=2x^4-3/x^2-4|x|; в) f(x)=(2x^2+5)/(sgn(x))^2;
б) f(x)=2x^4·|x|·sgn(x); г) f(x)=sgn(2x^2+5)/x^2.

Подробный ответ

Проверим чётность каждой функции, используя свойства:

$$x^4 \text{ — чётная функция}, \quad |x| \text{ — чётная функция}, \quad \operatorname{sgn}x \text{ — нечётная функция}.$$

$$f(x)=2x^4-\frac{3}{x^2}-4|x|$$
Функции $$2x^4$$, $$\frac{3}{x^2}$$ и $$4|x|$$ — чётные, значит их сумма и разность тоже чётная.
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=2x^4\cdot |x|\cdot \operatorname{sgn}x$$
Произведение чётной функции $$2x^4$$ и чётной функции $$|x|$$ — чётная, а умножение на нечётную функцию $$\operatorname{sgn}x$$ даёт нечётную функцию.
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{2x^2+5}{(\operatorname{sgn}x)^2}$$
Числитель $$2x^2+5$$ — чётная функция. Знаменатель $$\left(\operatorname{sgn}x\right)^2$$ тоже чётный, так как при замене $$x$$ на $$-x$$ не меняется.
Значит, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\operatorname{sgn}(2x^2+5)}{x^2}$$
Так как $$2x^2+5$$ — чётная функция, то и $$\operatorname{sgn}(2x^2+5)$$ — чётная. Кроме того, $$x^2$$ — чётная функция.
Следовательно, функция чётная.