Упр.51 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Даны функции $$f(x)=vx$$ и $$g(x)=2-x$$. Задайте формулой функцию: а) $$y=f(g(x))$$; б) $$y=g(f(x))$$. Определите характер монотонности каждой из полученных функций.
2. Объясните, какие из указанных функций являются чётными: а) $$f(x)=2x^4-\frac{3}{x^2}-4|x|$$; в) $$f(x)=2x^4\cdot|x|\cdot\operatorname{sgn}(x)$$; б) $$f(x)=\frac{2x^2+5}{\operatorname{sgn}^2(x)}$$; г) $$f(x)=\frac{\operatorname{sgn}(2x^2+5)}{x^2}$$.

Проверим чётность каждой функции, используя свойства:

$$x^4 \text{ — чётная функция}, \quad |x| \text{ — чётная функция}, \quad \operatorname{sgn}x \text{ — нечётная функция}.$$

1. $$f(x)=2x^4-\frac{3}{x^2}-4|x|$$

   Функции $$2x^4$$, $$\frac{3}{x^2}$$ и $$4|x|$$ — чётные, значит их сумма и разность тоже чётная.

   Следовательно, функция чётная.

2. $$f(x)=2x^4\cdot |x|\cdot \operatorname{sgn}x$$

   Произведение чётной функции $$2x^4$$ и чётной функции $$|x|$$ — чётная, а умножение на нечётную функцию $$\operatorname{sgn}x$$ даёт нечётную функцию.

   Следовательно, функция нечётная.

3. $$f(x)=\frac{2x^2+5}{(\operatorname{sgn}x)^2}$$

   Числитель $$2x^2+5$$ — чётная функция. Знаменатель $$\left(\operatorname{sgn}x\right)^2$$ тоже чётный, так как при замене $$x$$ на $$-x$$ не меняется.

   Значит, функция чётная.

4. $$f(x)=\frac{\operatorname{sgn}(2x^2+5)}{x^2}$$

   Так как $$2x^2+5$$ — чётная функция, то и $$\operatorname{sgn}(2x^2+5)$$ — чётная. Кроме того, $$x^2$$ — чётная функция.

   Следовательно, функция чётная.

Ответ

а) чётная; б) нечётная; в) чётная; г) чётная.