Упр.505 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 505. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через $$x$$ см, а большую — через $$y$$ см.

По условию диагональ равна $$10$$ см, значит:

$$x^2+y^2=100.$$

Если меньшую сторону увеличить на $$2$$ см, а большую уменьшить на $$2$$ см, то диагональ не изменится:

$$\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=10.$$

Возведём в квадрат:

$$ (x+2)^2+(y-2)^2=100 $$

$$ x^2+4x+4+y^2-4y+4=100 $$

$$ x^2+y^2+4x-4y+8=100 $$

Подставим $$x^2+y^2=100$$:

$$ 100+4x-4y+8=100 $$

$$ 4x-4y=-8 $$

$$ x-y=-2 $$

$$ y=x+2. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ x^2+(x+2)^2=100 $$

$$ x^2+x^2+4x+4=100 $$

$$ 2x^2+4x-96=0 $$

$$ x^2+2x-48=0 $$

$$ D=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=196 $$

$$ x=\frac{-2\pm14}{2} $$

Получаем $$x_1=6$$ или $$x_2=-8$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=6$$.

Тогда

$$ y=x+2=8. $$

Ответ

$$6\text{ см и }8\text{ см}.$$