Упр.498 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 498. Укажите нули функции y=x^2+|x|-12, область её значений, промежутки возрастания и убывания.

Рассмотрим функцию $$y=x^2+|x|-12.$$

Найдём нули функции:

$$x^2+|x|-12=0.$$

Обозначим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем уравнение

$$t^2+t-12=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=-4,\quad t_2=3.$$

Так как $$t=|x|\ge 0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит, значит

$$|x|=3,$$

откуда

$$x=-3 \text{ или } x=3.$$

Теперь найдём область значений. Так как $$x^2\ge 0$$ и $$|x|\ge 0,$$ то наименьшее значение функции достигается при $$x=0$$:

$$y_{\min}=0+0-12=-12.$$

Следовательно,

$$E(y)=[-12;+\infty).$$

Для промежутков возрастания и убывания рассмотрим вид функции по частям:

$$y=\begin{cases} x^2-x-12, & x<0,\\ x^2+x-12, & x\ge 0. \end{cases}$$

На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает, а на промежутке $$[0;+\infty)$$ возрастает.

Ответ

Нули функции: $$x=-3$$ и $$x=3$$. Область значений: $$[-12;+\infty).$$ Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$