Упр.495 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Составьте линейное неравенство, графиком которого является левая открытая полуплоскость, если её границе принадлежат точки: а) $$(7;\,-1)$$ и $$(7;\,4)$$; б) $$(-5;\,2)$$ и $$(-5;\,-5)$$.
2. Найдите решения системы уравнений: а) $$\begin{cases} xy=2,\\ (x^2+y^2)xy=24; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x-y=\sqrt{3},\\ xy(x^2+y^2)=-1. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения имеем $$xy=2.$$ Подставим это во второе:

$$(x^2+y^2)\cdot 2=24$$

$$x^2+y^2=12$$

Используем формулу:

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

Тогда

$$(x+y)^2=12+2\cdot 2=16$$

$$x+y=\pm 4$$

1) Если $$x+y=4,$$ то $$y=4-x.$$ Подставим в $$xy=2$$:

$$x(4-x)=2$$

$$x^2-4x+2=0$$

$$D=16-8=8$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt2$$

Тогда

$$y=4-(2\pm\sqrt2)=2\mp\sqrt2$$

Получаем пары:

$$(2+\sqrt2;\,2-\sqrt2),\quad (2-\sqrt2;\,2+\sqrt2)$$

2) Если $$x+y=-4,$$ то $$y=-4-x.$$ Подставим в $$xy=2$$:

$$x(-4-x)=2$$

$$x^2+4x+2=0$$

$$D=16-8=8$$

$$x=\frac{-4\pm\sqrt8}{2}=-2\pm\sqrt2$$

Тогда

$$y=-4-(-2\pm\sqrt2)=-2\mp\sqrt2$$

Получаем пары:

$$(-2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2),\quad (-2-\sqrt2;\,-2+\sqrt2)$$

б) Из первого уравнения:

$$x-y=\sqrt3$$

Возведём разность в квадрат:

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=3$$

Тогда

$$x^2+y^2=3+2xy$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy(x^2+y^2)=-1$$

$$xy(3+2xy)=-1$$

Обозначим $$t=xy.$$ Тогда

$$2t^2+3t+1=0$$

$$(2t+1)(t+1)=0$$

Отсюда

$$t_1=-1,\quad t_2=-\frac12$$

1) Если $$xy=-1,$$ то из $$x-y=\sqrt3$$ и $$y=\frac{-1}{x}$$ получаем:

$$x+\frac{1}{x}=\sqrt3$$

$$x^2-\sqrt3\,x+1=0$$

$$D=3-4=-1<0$$

Решений нет.

2) Если $$xy=-\frac12,$$ то $$y=-\frac{1}{2x}.$$ Тогда

$$x+\frac{1}{2x}=\sqrt3$$

$$2x^2-2\sqrt3\,x+1=0$$

$$D=12-8=4$$

$$x=\frac{2\sqrt3\pm2}{4}=\frac{\sqrt3\pm1}{2}$$

Тогда

$$y=x-\sqrt3$$

или сразу из $$xy=-\frac12$$:

$$y=\frac{-\sqrt3\pm1}{2}$$

Получаем пары:

$$\left(\frac{\sqrt3+1}{2};\,\frac{1-\sqrt3}{2}\right),\quad \left(\frac{\sqrt3-1}{2};\,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right)$$

Ответ

а) $$(-2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2),\;(-2-\sqrt2;\,-2+\sqrt2),\;(2+\sqrt2;\,2-\sqrt2),\;(2-\sqrt2;\,2+\sqrt2).$$

б) $$\left(\frac{\sqrt3+1}{2};\,\frac{1-\sqrt3}{2}\right),\;\left(\frac{\sqrt3-1}{2};\,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right).$$