Упр.495 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {xy=2, (x^2+y^2)xy=24};
б) {x-y=v3, xy(x^2+y^2)=-1}.

а) Из первого уравнения имеем $$xy=2.$$ Подставим это во второе:

$$ (x^2+y^2)\cdot 2=24 $$

$$ x^2+y^2=12 $$

Используем формулу:

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $$

Тогда

$$ (x+y)^2=12+2\cdot 2=16 $$

$$ x+y=\pm 4 $$

1) Если $$x+y=4,$$ то $$y=4-x.$$ Подставим в $$xy=2$$:

$$ x(4-x)=2 $$

$$ x^2-4x+2=0 $$

$$ D=16-8=8 $$

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt2 $$

Тогда

$$ y=4-(2\pm\sqrt2)=2\mp\sqrt2 $$

Получаем пары:

$$ (2+\sqrt2;\,2-\sqrt2),\quad (2-\sqrt2;\,2+\sqrt2) $$

2) Если $$x+y=-4,$$ то $$y=-4-x.$$ Подставим в $$xy=2$$:

$$ x(-4-x)=2 $$

$$ x^2+4x+2=0 $$

$$ D=16-8=8 $$

$$ x=\frac{-4\pm\sqrt8}{2}=-2\pm\sqrt2 $$

Тогда

$$ y=-4-(-2\pm\sqrt2)=-2\mp\sqrt2 $$

Получаем пары:

$$ (-2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2),\quad (-2-\sqrt2;\,-2+\sqrt2) $$

б) Из первого уравнения:

$$ x-y=\sqrt3 $$

Возведём разность в квадрат:

$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=3 $$

Тогда

$$ x^2+y^2=3+2xy $$

Подставим во второе уравнение:

$$ xy(x^2+y^2)=-1 $$

$$ xy(3+2xy)=-1 $$

Обозначим $$t=xy.$$ Тогда

$$ 2t^2+3t+1=0 $$

$$ (2t+1)(t+1)=0 $$

Отсюда

$$ t_1=-1,\quad t_2=-\frac12 $$

1) Если $$xy=-1,$$ то из $$x-y=\sqrt3$$ и $$y=\frac{-1}{x}$$ получаем:

$$ x+\frac{1}{x}=\sqrt3 $$

$$ x^2-\sqrt3\,x+1=0 $$

$$ D=3-4=-1<0 $$

Решений нет.

2) Если $$xy=-\frac12,$$ то $$y=-\frac{1}{2x}.$$ Тогда

$$ x+\frac{1}{2x}=\sqrt3 $$

$$ 2x^2-2\sqrt3\,x+1=0 $$

$$ D=12-8=4 $$

$$ x=\frac{2\sqrt3\pm2}{4}=\frac{\sqrt3\pm1}{2} $$

Тогда

$$ y=x-\sqrt3 $$

или сразу из $$xy=-\frac12$$:

$$ y=\frac{-\sqrt3\pm1}{2} $$

Получаем пары:

$$ \left(\frac{\sqrt3+1}{2};\,\frac{1-\sqrt3}{2}\right),\quad \left(\frac{\sqrt3-1}{2};\,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right) $$

Ответ

а) $$(-2+\sqrt2;\,-2-\sqrt2),\;(-2-\sqrt2;\,-2+\sqrt2),\;(2+\sqrt2;\,2-\sqrt2),\;(2-\sqrt2;\,2+\sqrt2).$$

б) $$\left(\frac{\sqrt3+1}{2};\,\frac{1-\sqrt3}{2}\right),\;\left(\frac{\sqrt3-1}{2};\,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right).$$