Упр.494 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2-y^2-xy+2x+y=0, x^2-y=xy-1};
б) {x^2+xy=10, 2x^2+y^2=3xy-1}.

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$x^2-y=xy-1,$$

$$y(x+1)=x^2+1,$$

$$y=\frac{x^2+1}{x+1}, \quad x\ne -1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2x^2-y^2-xy+2x+y=0.$$

После упрощения получаем:

$$x^2-2x+1=0,$$

$$x=1.$$

Тогда

$$y=\frac{1^2+1}{1+1}=1.$$

Проверка подстановкой показывает, что пара $$\,(1;1)\,$$ удовлетворяет обеим уравнениям.

б) Из первого уравнения выразим $$xy$$:

$$x^2+xy=10,$$

$$xy=10-x^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2x^2+y^2=3xy-1,$$

$$2x^2+y^2=3(10-x^2)-1,$$

$$y^2=29-5x^2.$$

Так как $$xy=10-x^2,$$ то

$$y=\frac{10-x^2}{x}, \quad x\ne 0.$$

Подставим в выражение для $$y^2$$:

$$\left(\frac{10-x^2}{x}\right)^2=29-5x^2.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$\left(10-x^2\right)^2=29x^2-5x^4,$$

$$100-20x^2+x^4=29x^2-5x^4,$$

$$6x^4-49x^2+100=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$6t^2-49t+100=0.$$

$$D=49^2-4\cdot 6\cdot 100=1,$$

$$t_1=\frac{49-1}{12}=4,\qquad t_2=\frac{49+1}{12}=\frac{25}{6}.$$

Значит,

$$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{5}{\sqrt6}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$ из формулы $$xy=10-x^2$$:

при $$x=2$$: $$y=\frac{10-4}{2}=3$$;

при $$x=-2$$: $$y=\frac{10-4}{-2}=-3$$;

при $$x=\frac{5}{\sqrt6}$$: $$y=\frac{10-\frac{25}{6}}{\frac{5}{\sqrt6}}=\frac{7}{\sqrt6}$$;

при $$x=-\frac{5}{\sqrt6}$$: $$y=\frac{10-\frac{25}{6}}{-\frac{5}{\sqrt6}}=-\frac{7}{\sqrt6}.$$

Ответ

а) $$\,(1;1)\,.$$ б) $$\,(-2;-3),\ (2;3),\ \left(-\frac{5}{\sqrt6};-\frac{7}{\sqrt6}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt6};\frac{7}{\sqrt6}\right).$$