Упр.492 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x+y=5xy, x-y=xy};
б) {5x+5y=6xy, 5x-5y=xy}.

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x+y=5xy,\\ x-y=xy. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$x$$ через $$y$$:

$$ x-y=xy \;\Rightarrow\; x=y+xy=y(1+x). $$

Удобнее использовать преобразование из решения:

$$ x+y=5(x-y). $$

Тогда

$$ x+y=5x-5y, $$

$$ 4x=6y, $$

$$ x=\frac{3y}{2}. $$

Подставим в уравнение $$x-y=xy$$:

$$ \frac{3y}{2}-y=y\cdot \frac{3y}{2}, $$

$$ \frac{y}{2}=\frac{3y^2}{2}, $$

$$ y=3y^2, $$

$$ y(3y-1)=0. $$

Отсюда

$$ y_1=0,\quad y_2=\frac13. $$

Тогда

$$ x_1=0,\quad x_2=\frac12. $$

Получаем решения:

$$ (0;0),\ \left(\frac12;\frac13\right). $$

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 5x+5y=6xy,\\ 5x-5y=xy. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$ 5x-5y=xy \;\Rightarrow\; 5x=5y+xy=y(5+x). $$

Используем преобразование из решения:

$$ 5x+5y=6(5x-5y). $$

Тогда

$$ 5x+5y=30x-30y, $$

$$ 25x=35y, $$

$$ x=\frac{7y}{5}. $$

Подставим в уравнение $$5x-5y=xy$$:

$$ 7y-5y=y\cdot \frac{7y}{5}, $$

$$ 2y=\frac{7y^2}{5}, $$

$$ 10y=7y^2, $$

$$ y(7y-10)=0. $$

Отсюда

$$ y_1=0,\quad y_2=\frac{10}{7}=1\frac{3}{7}. $$

Тогда

$$ x_1=0,\quad x_2=2. $$

Получаем решения:

$$ (0;0),\ (2;1\frac{3}{7}). $$

Ответ

а) $$ (0;0),\ \left(\frac12;\frac13\right) $$; б) $$ (0;0),\ (2;1\frac{3}{7}) $$.