Упр.492 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Какое множество точек описывается неравенством:
   а) $$\frac{1}{2}(2x+3y)>\frac{1}{3}(3x-2y)+2$$;
   б) $$-5(x-2y)-10y-8x<3$$?
2. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}x+y=5xy,\\x-y=xy;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}5x+5y=6xy,\\5x-5y=xy.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} x+y=5xy,\\ x-y=xy. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$x$$ через $$y$$:

$$x-y=xy \;\Rightarrow\; x=y+xy=y(1+x).$$

Удобнее использовать преобразование из решения:

$$x+y=5(x-y).$$

Тогда

$$x+y=5x-5y,$$

$$4x=6y,$$

$$x=\frac{3y}{2}.$$

Подставим в уравнение $$x-y=xy$$:

$$\frac{3y}{2}-y=y\cdot \frac{3y}{2},$$

$$\frac{y}{2}=\frac{3y^2}{2},$$

$$y=3y^2,$$

$$y(3y-1)=0.$$

Отсюда

$$y_1=0,\quad y_2=\frac13.$$

Тогда

$$x_1=0,\quad x_2=\frac12.$$

Получаем решения:

$$(0;0),\ \left(\frac12;\frac13\right).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 5x+5y=6xy,\\ 5x-5y=xy. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$5x-5y=xy \;\Rightarrow\; 5x=5y+xy=y(5+x).$$

Используем преобразование из решения:

$$5x+5y=6(5x-5y).$$

Тогда

$$5x+5y=30x-30y,$$

$$25x=35y,$$

$$x=\frac{7y}{5}.$$

Подставим в уравнение $$5x-5y=xy$$:

$$7y-5y=y\cdot \frac{7y}{5},$$

$$2y=\frac{7y^2}{5},$$

$$10y=7y^2,$$

$$y(7y-10)=0.$$

Отсюда

$$y_1=0,\quad y_2=\frac{10}{7}=1\frac{3}{7}.$$

Тогда

$$x_1=0,\quad x_2=2.$$

Получаем решения:

$$(0;0),\ (2;1\frac{3}{7}).$$

Ответ

а) $$(0;0),\ \left(\frac12;\frac13\right)$$; б) $$(0;0),\ (2;1\frac{3}{7})$$.