Упр.491 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2-xy=y^2+5, x^2-xy=y^2+1};
б) {3x^2-2y^2=2xy-1, 2x^2-y^2=2xy-1}.

а) Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2x^2-xy)-(x^2-xy)=(y^2+5)-(y^2+1) $$

$$ x^2=4,\quad x=\pm 2 $$

Если $$x=2$$, то из второго уравнения:

$$ 4-2y=y^2+1 $$

$$ y^2+2y-3=0 $$

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16 $$

$$ y=\frac{-2\pm 4}{2} $$

$$ y_1=-3,\quad y_2=1 $$

Если $$x=-2$$, то из второго уравнения:

$$ 4+2y=y^2+1 $$

$$ y^2-2y-3=0 $$

$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16 $$

$$ y=\frac{2\pm 4}{2} $$

$$ y_1=-1,\quad y_2=3 $$

Следовательно, решения системы:

$$ (-2,-1),\;(-2,3),\;(2,-3),\;(2,1) $$

б) Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (3x^2-2y^2)-(2x^2-y^2)=0 $$

$$ x^2-y^2=0 $$

$$ (x-y)(x+y)=0 $$

Значит, либо $$x=y$$, либо $$x=-y$$.

1) Если $$x=y$$, то из второго уравнения:

$$ 2x^2-x^2=2x\cdot x-1 $$

$$ x^2=2x^2-1 $$

$$ x^2=1 $$

$$ x=\pm 1,\quad y=\pm 1 $$

Получаем точки $$(-1,-1)$$ и $$(1,1)$$.

2) Если $$x=-y$$, то из второго уравнения:

$$ 2x^2-y^2=2x(-x)-1 $$

$$ x^2=-2x^2-1 $$

$$ 3x^2=-1 $$

Решений нет.

Ответ

а) $$(-2,-1),\;(-2,3),\;(2,-3),\;(2,1)$$;

б) $$(-1,-1),\;(1,1)$$.