Упр.490 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2+4xy-5y=1, x^2+xy-6y^2=0};
б) {x(3x-2y)=y^2, 3y^2=2x(x+2)-3}.

а) Из второго уравнения системы

$$x^2+xy-6y^2=0$$

получаем квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2+yx-6y^2=0.$$

Его корни:

$$D=y^2+24y^2=25y^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{-y\pm 5y}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=-3y,\qquad x_2=2y.$$

1) Если $$x=-3y,$$ то из первого уравнения

$$2x^2+4xy-5y=1$$

получаем

$$2\cdot 9y^2+4y(-3y)-5y=1,$$

$$6y^2-5y-1=0.$$

Тогда

$$D=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{12}.$$

Следовательно,

$$y_1=-\frac16,\quad y_2=1.$$

Тогда

$$x_1=-3\left(-\frac16\right)=\frac12,\qquad x_2=-3\cdot 1=-3.$$

Получаем пары:

$$\left(\frac12,-\frac16\right),\quad (-3,1).$$

2) Если $$x=2y,$$ то из первого уравнения

$$2\cdot 4y^2+4y\cdot 2y-5y=1,$$

$$16y^2-5y-1=0.$$

Тогда

$$D=25+64=89,$$

$$y=\frac{5\pm \sqrt{89}}{32}.$$

Следовательно,

$$x=2y=\frac{5\pm \sqrt{89}}{16}.$$

Получаем пары:

$$\left(\frac{5+\sqrt{89}}{16},\frac{5+\sqrt{89}}{32}\right),\quad \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16},\frac{5-\sqrt{89}}{32}\right).$$

б) Из первого уравнения

$$x(3x-2y)=y^2$$

получаем

$$3x^2-2xy-y^2=0.$$

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $x$:

$$3x^2-2yx-y^2=0.$$

Тогда

$$D=(2y)^2+12y^2=16y^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{2y\pm 4y}{6}.$$

Отсюда

$$x_1=-\frac{y}{3},\qquad x_2=y.$$

1) Если $$x=-\frac{y}{3},$$ то из второго уравнения

$$3y^2=2x(x+2)-3$$

получаем

$$3y^2=2\left(-\frac{y}{3}\right)\left(-\frac{y}{3}+2\right)-3,$$

$$8y^2+4y+9=0.$$

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 8\cdot 9=-272<0,$$

значит, действительных решений нет.

2) Если $$x=y,$$ то

$$3y^2=2y(y+2)-3,$$

$$3y^2=2y^2+4y-3,$$

$$y^2-4y+3=0.$$

Тогда

$$D=16-12=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Следовательно,

$$y_1=1,\quad y_2=3.$$

Так как $$x=y,$$ получаем решения:

$$ (1,1),\quad (3,3). $$

Ответ

а) $$\left(\frac12,-\frac16\right),\ (-3,1),\ \left(\frac{5+\sqrt{89}}{16},\frac{5+\sqrt{89}}{32}\right),\ \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16},\frac{5-\sqrt{89}}{32}\right).$$

б) $$(1,1),\ (3,3).$$