Упр.489 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {xy=-2, (x-y)^2+x+y=10};
б) {(x^2+y^2)(x^3+y^3)=32, x+y=2}.

а) Из первого уравнения имеем $$xy=-2.$$

Второе уравнение преобразуем:

$$ (x-y)^2+x+y=10 $$
$$ x^2-2xy+y^2+x+y=10 $$
$$ x^2+y^2+4+x+y=10 $$
$$ x^2+y^2+x+y=6. $$

Выразим через сумму $$x+y$$:

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2+4. $$

Тогда

$$ (x+y)^2+4+x+y=6 $$
$$ (x+y)^2+(x+y)-2=0. $$

Обозначим $$s=x+y$$. Получаем:

$$ s^2+s-2=0 $$
$$ (s+2)(s-1)=0. $$

Значит, $$s=-2$$ или $$s=1$$.

1) Если $$x+y=-2,$$ то

$$ y=-x-2. $$
Подставим в $$xy=-2$$:

$$ x(-x-2)=-2 $$
$$ x^2+2x-2=0. $$

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12, $$
$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt3. $$

Тогда

$$ y=-x-2=-1\mp\sqrt3. $$

Получаем пары:

$$(-1+\sqrt3;\,-1-\sqrt3),\quad (-1-\sqrt3;\,-1+\sqrt3).$$

2) Если $$x+y=1,$$ то

$$ y=1-x. $$
Подставим в $$xy=-2$$:

$$ x(1-x)=-2 $$
$$ x^2-x-2=0 $$
$$ (x-2)(x+1)=0. $$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$.

Тогда соответственно:

$$x=2,\ y=-1;$$

$$x=-1,\ y=2.$$

Итак, для пункта а) решения:

$$(-1;2),\ (2;-1),\ (-1+\sqrt3;\,-1-\sqrt3),\ (-1-\sqrt3;\,-1+\sqrt3).$$

б) Используем формулы:

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy, $$
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). $$

Так как $$x+y=2,$$ то

$$ x^2+y^2=4-2xy, $$
$$ x^3+y^3=2(x^2-xy+y^2)=2\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)=2(4-3xy). $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (4-2xy)\cdot 2(4-3xy)=32. $$

$$ (4-2xy)(4-3xy)=16 $$
$$ 16-20xy+6x^2y^2=16 $$
$$ 6x^2y^2-20xy=0 $$
$$ 2xy(3xy-10)=0. $$

Значит, $$xy=0$$ или $$xy=\frac{10}{3}.$$

1) Если $$xy=0,$$ то при $$x+y=2$$ получаем пары:

$$ (0;2),\quad (2;0). $$

2) Если $$xy=\frac{10}{3},$$ то числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$ t^2-2t+\frac{10}{3}=0. $$

$$ D=4-\frac{40}{3}=-\frac{28}{3}<0, $$

следовательно, действительных решений нет.

Ответ

а) $$(-1;2),\ (2;-1),\ (-1+\sqrt3;\,-1-\sqrt3),\ (-1-\sqrt3;\,-1+\sqrt3)$$;

б) $$(0;2),\ (2;0).$$