Упр.488 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {7xy+2x^2-5y^2=0, x^2-5xy+y=-11};
б) {6x^2+2xy-3x-y=0, 2x^2-y^2+2x+y=3/2}.
а) Рассмотрим первое уравнение системы:
$$2x^2+7xy-4y^2=0.$$
Найдём его корни как квадратного уравнения относительно $x$:
$$D=(7y)^2-4\cdot 2\cdot(-4y^2)=49y^2+32y^2=81y^2.$$
Тогда
$$x=\frac{-7y\pm 9y}{4}.$$
Получаем два случая:
$$x=-4y \quad \text{или} \quad x=\frac{y}{2}.$$
1) Если $$x=-4y,$$ то из второго уравнения:
$$(-4y)^2-5y(-4y)+y=-11,$$
$$16y^2+20y^2+y=-11,$$
$$36y^2+y+11=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-4\cdot 36\cdot 11=1-1584=-1583<0.$$
Значит, действительных решений нет.
2) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то из второго уравнения:
$$\left(\frac{y}{2}\right)^2-5y\cdot \frac{y}{2}+y=-11,$$
$$\frac{y^2}{4}-\frac{5y^2}{2}+y=-11,$$
$$y^2-10y^2+4y=-44,$$
$$9y^2-4y-44=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 9\cdot(-44)=16+1584=1600.$$
Тогда
$$y=\frac{4\pm 40}{18}.$$
Отсюда
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac{22}{9}.$$
Найдём $x$:
$$x=\frac{y}{2}.$$
При $y=-2$ получаем $x=-1$; при $y=\frac{22}{9}$ получаем $x=\frac{11}{9}$.
Следовательно, решения системы:
$$(-1;\,-2),\ \left(\frac{11}{9};\,\frac{22}{9}\right).$$
б) Первое уравнение преобразуем:
$$6x^2+2xy-3x-y=0,$$
$$2x(3x+y)-(3x+y)=0,$$
$$ (2x-1)(3x+y)=0.$$
Значит, возможны два случая:
$$2x-1=0 \quad \text{или} \quad 3x+y=0,$$
то есть
$$x=\frac12 \quad \text{или} \quad y=-3x.$$
1) Если $$x=\frac12,$$ то подставим во второе уравнение:
$$2x^2-y^2+2x+y=\frac32,$$
$$2\cdot \frac14-y^2+2\cdot \frac12+y=\frac32,$$
$$\frac12-y^2+1+y=\frac32,$$
$$2y^2-2y=0,$$
$$2y(y-1)=0.$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=1.$$
Получаем точки:
$$\left(\frac12;0\right),\ \left(\frac12;1\right).$$
2) Если $$y=-3x,$$ то подставим во второе уравнение:
$$2x^2-(-3x)^2+2x+(-3x)=\frac32,$$
$$2x^2-9x^2-x=\frac32,$$
$$14x^2-6x+27=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-6)^2-4\cdot 14\cdot 27=36-1512=-1476<0.$$
Действительных решений нет.
Следовательно, система имеет решения:
$$\left(\frac12;0\right),\ \left(\frac12;1\right).$$
Ответ
а) $$(-1;\,-2),\ \left(\frac{11}{9};\,\frac{22}{9}\right);$$ б) $$\left(\frac12;\,0\right),\ \left(\frac12;\,1\right).$$
