Упр.484 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {x^2-y^2=3, xy=-2};
б) {x^2+y^2=5/16, 8xy=1};
в) {2xy=-1, x^2-y^2=3/4}.
а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$xy=-2 \Rightarrow y=-\frac{2}{x}, \quad x \ne 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-y^2=3$$
$$x^2-\left(-\frac{2}{x}\right)^2=3$$
$$x^2-\frac{4}{x^2}=3.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-3x^2-4=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-3t-4=0,$$
$$t_1=-1,\quad t_2=4.$$
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2$$.
Тогда
$$y=-\frac{2}{x}.$$
При $$x=2$$ получаем $$y=-1$$, при $$x=-2$$ получаем $$y=1$$.
б) Из второго уравнения:
$$8xy=1 \Rightarrow y=\frac{1}{8x}, \quad x \ne 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+y^2=\frac{5}{16}$$
$$x^2+\frac{1}{64x^2}=\frac{5}{16}.$$
Умножим на $$64x^2$$:
$$64x^4-20x^2+1=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$64t^2-20t+1=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 64\cdot 1=144,$$
$$t_{1,2}=\frac{20\pm 12}{128}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac{1}{4}, \quad t_2=\frac{1}{16}.$$
Значит,
$$x=\pm \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{1}{4}.$$
Тогда по формуле $$y=\frac{1}{8x}$$ находим:
при $$x=\frac{1}{2}$$, $$y=\frac{1}{4}$$;
при $$x=-\frac{1}{2}$$, $$y=-\frac{1}{4}$$;
при $$x=\frac{1}{4}$$, $$y=\frac{1}{2}$$;
при $$x=-\frac{1}{4}$$, $$y=-\frac{1}{2}$$.
в) Из второго уравнения:
$$2xy=-1 \Rightarrow y=-\frac{1}{2x}, \quad x \ne 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-y^2=\frac{3}{4}$$
$$x^2-\frac{1}{4x^2}=\frac{3}{4}.$$
Умножим на $$4x^2$$:
$$4x^4-3x^2-1=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$4t^2-3t-1=0.$$
$$D=3^2+16=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}.$$
Получаем:
$$t_1=-\frac{1}{4}, \quad t_2=1.$$
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2=1$$, откуда $$x=\pm 1$$.
Тогда
$$y=-\frac{1}{2x}.$$
При $$x=1$$ получаем $$y=-\frac{1}{2}$$, при $$x=-1$$ получаем $$y=\frac{1}{2}$$.
Ответ
а) $$(-2; 1),\ (2; -1)$$
б) $$\left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right),\ \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right),\ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right)$$
в) $$(-1; \frac{1}{2}),\ (1; -\frac{1}{2})$$
