Упр.482 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Из сосуда, наполненного глицерином, отлили $$1\ \text{л}$$ глицерина, а взамен долили $$1\ \text{л}$$ воды. Затем отлили $$1\ \text{л}$$ смеси и вновь долили $$1\ \text{л}$$ воды. Наконец ещё раз отлили $$1\ \text{л}$$ смеси и долили $$1\ \text{л}$$ воды. В результате этих операций объём воды в сосуде оказался в семь раз больше объёма оставшегося глицерина. Сколько жидкости вместит сосуд?
- Найдите решения системы уравнений:
а) $$\begin{cases}2x^2+y^2=9,\\x^2-y^2=3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3x^2-2y^2=1,\\2x^2-y^2=1;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2-3y^2-y=-6,\\2x^2-3y^2=-4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}2x^2+xy=16,\\3x^2+xy-x=18.\end{cases}$$
а) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2x^2+y^2=9,\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2=x^2-3.$$
Подставим в первое:
$$2x^2+(x^2-3)=9,$$
$$3x^2=12,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда
$$y^2=4-3=1,\quad y=\pm 1.$$
Получаем точки:
$$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1).$$
б) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 3x^2-2y^2=1,\\ 2x^2-y^2=1. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2=2x^2-1.$$
Подставим в первое:
$$3x^2-2(2x^2-1)=1,$$
$$3x^2-4x^2+2=1,$$
$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Тогда
$$y^2=2\cdot 1-1=1,\quad y=\pm 1.$$
Получаем точки:
$$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1).$$
в) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2-3y^2-y=-6,\\ 2x^2-3y^2=-4. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2x^2=3y^2-4,\quad x^2=\frac{3y^2-4}{2}.$$
Подставим в первое:
$$\frac{3y^2-4}{2}-3y^2-y=-6,$$
$$3y^2-4-6y^2-2y=-12,$$
$$3y^2+2y-8=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-8)=100,$$
$$y=\frac{-2\pm 10}{6}.$$
Отсюда
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac{4}{3}.$$
Если $$y=-2,$$ то
$$x^2=\frac{3\cdot 4-4}{2}=4,\quad x=\pm 2.$$
Если $$y=\frac{4}{3},$$ то
$$x^2=\frac{3\cdot \frac{16}{9}-4}{2}=\frac{2}{3},\quad x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Получаем точки:
$$(-2;-2),\ (2;-2),\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right).$$
г) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2x^2+xy=16,\\ 3x^2+xy-x=18. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x^2-x-2=0.$$
Разложим на множители:
$$(x-2)(x+1)=0,$$
значит, $$x=2$$ или $$x=-1.$$
Если $$x=2,$$ то из первого уравнения:
$$2\cdot 2^2+2y=16,$$
$$8+2y=16,\quad y=4.$$
Если $$x=-1,$$ то
$$2\cdot (-1)^2- y=16,$$
$$2-y=16,\quad y=-14.$$
Получаем точки:
$$(-1;-14),\ (2;4).$$
Ответ
а) $$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1)$$; б) $$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1)$$; в) $$(-2;-2),\ (2;-2),\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right)$$; г) $$(-1;-14),\ (2;4).$$
