Упр.482 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {2x^2+y^2=9, x^2-y^2=3};
б) {3x^2-2y^2=1, 2x^2-y^2=1};
в) {x^2-3y^2-y=-6, 2x^2-3y^2=-4};
г) {2x^2+xy=16, 3x^2+xy-x=18}.
а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2x^2+y^2=9,\\ x^2-y^2=3. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y^2=x^2-3.$$
Подставим в первое:
$$ 2x^2+(x^2-3)=9, $$
$$ 3x^2=12,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
Тогда
$$ y^2=4-3=1,\quad y=\pm 1. $$
Получаем точки:
$$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1).$$
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 3x^2-2y^2=1,\\ 2x^2-y^2=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y^2=2x^2-1.$$
Подставим в первое:
$$ 3x^2-2(2x^2-1)=1, $$
$$ 3x^2-4x^2+2=1, $$
$$ x^2=1,\quad x=\pm 1. $$
Тогда
$$ y^2=2\cdot 1-1=1,\quad y=\pm 1. $$
Получаем точки:
$$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1).$$
в) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2-3y^2-y=-6,\\ 2x^2-3y^2=-4. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 2x^2=3y^2-4,\quad x^2=\frac{3y^2-4}{2}. $$
Подставим в первое:
$$ \frac{3y^2-4}{2}-3y^2-y=-6, $$
$$ 3y^2-4-6y^2-2y=-12, $$
$$ 3y^2+2y-8=0. $$
Найдём корни:
$$ D=2^2-4\cdot 3\cdot(-8)=100, $$
$$ y=\frac{-2\pm 10}{6}. $$
Отсюда
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac{4}{3}.$$
Если $$y=-2,$$ то
$$ x^2=\frac{3\cdot 4-4}{2}=4,\quad x=\pm 2. $$
Если $$y=\frac{4}{3},$$ то
$$ x^2=\frac{3\cdot \frac{16}{9}-4}{2}=\frac{2}{3},\quad x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}. $$
Получаем точки:
$$(-2;-2),\ (2;-2),\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right).$$
г) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2x^2+xy=16,\\ 3x^2+xy-x=18. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ x^2-x-2=0. $$
Разложим на множители:
$$ (x-2)(x+1)=0, $$
значит, $$x=2$$ или $$x=-1.$$
Если $$x=2,$$ то из первого уравнения:
$$ 2\cdot 2^2+2y=16, $$
$$ 8+2y=16,\quad y=4. $$
Если $$x=-1,$$ то
$$ 2\cdot (-1)^2- y=16, $$
$$ 2-y=16,\quad y=-14. $$
Получаем точки:
$$(-1;-14),\ (2;4).$$
Ответ
а) $$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1)$$; б) $$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1)$$; в) $$(-2;-2),\ (2;-2),\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}};\frac{4}{3}\right)$$; г) $$(-1;-14),\ (2;4).$$
