Упр.481 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {1/x+1/y=3/8, x+y=12};
б) {x-y=4, 1/x-1/y=-4/5};
в) {2/(y-1)+3/(x+1)=5/2, 1/(x-2)=-3/y};
г) {1/(y+1)=2/(x-1), 4/(x+2)+1/(y-1)=1/3}.

1. а)

   Из второго уравнения выразим $$y$$:
   $$y=12-x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{12-x}=\frac{3}{8}. $$
   Умножим на $$8x(12-x)$$:
   $$ 8(12-x)+8x=3x(12-x). $$
   $$ 96=36x-3x^2. $$
   $$ 3x^2-36x+96=0. $$
   $$ x^2-12x+32=0. $$
   $$ D=12^2-4\cdot 32=16. $$
   $$ x_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}. $$
   Тогда $$x_1=4,\; x_2=8.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=12-4=8,\quad y_2=12-8=4.$$

   Ответ: $$(4;8),\ (8;4).$$

2. б)

   Из первого уравнения:
   $$y=x-4.$$
   Подставим во второе:
   $$ \frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}=-\frac{4}{5}. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{x-4-x}{x(x-4)}=-\frac{4}{5}, $$
   $$ \frac{-4}{x(x-4)}=-\frac{4}{5}. $$
   Сократим на $$-4$$:
   $$ \frac{1}{x(x-4)}=\frac{1}{5}. $$
   $$ x(x-4)=5. $$
   $$ x^2-4x-5=0. $$
   $$ D=4^2+4\cdot 5=36. $$
   $$ x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}. $$
   Тогда $$x_1=-1,\; x_2=5.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=-1-4=-5,\quad y_2=5-4=1.$$

   Ответ: $$(-1;-5),\ (5;1).$$

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$ \frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y}\quad \Rightarrow \quad y=-3(x-2)=6-3x. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ \frac{2}{(6-3x)-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}, $$
   $$ \frac{2}{5-3x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}. $$
   Умножим на $$2(5-3x)(x+1)$$:
   $$ 4(x+1)+6(5-3x)=5(5-3x)(x+1). $$
   $$ 4x+4+30-18x=25x+25-15x^2-15x. $$
   $$ 15x^2-24x+9=0. $$
   $$ 5x^2-8x+3=0. $$
   $$ D=8^2-4\cdot 5\cdot 3=4. $$
   $$ x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{10}. $$
   Тогда $$x_1=\frac{3}{5},\; x_2=1.$$
   Найдём $$y$$:
   $$ y_1=6-3\cdot \frac{3}{5}=\frac{21}{5},\quad y_2=6-3=3. $$

   Ответ: $$\left(\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right),\ (1;3).$$

4. г)

   Из первого уравнения:
   $$ \frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1}\quad \Rightarrow \quad x-1=2(y+1), $$
   $$ x=2y+3. $$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ \frac{4}{(2y+3)+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}, $$
   $$ \frac{4}{2y+5}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}. $$
   Умножим на $$3(2y+5)(y-1)$$:
   $$ 12(y-1)+3(2y+5)=(2y+5)(y-1). $$
   $$ 12y-12+6y+15=2y^2+3y-5. $$
   $$ 2y^2-15y-8=0. $$
   $$ D=15^2+4\cdot 2\cdot 8=289. $$
   $$ y_{1,2}=\frac{15\pm 17}{4}. $$
   Тогда $$y_1=-\frac{1}{2},\; y_2=8.$$
   Найдём $$x$$:
   $$ x_1=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+3=2,\quad x_2=2\cdot 8+3=19. $$

   Ответ: $$(2;-\tfrac{1}{2}),\ (19;8).$$