Упр.481 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Сосуд вместимостью $$20\ \text{л}$$ наполнен спиртом. Из него отлили некоторое количество спирта в другой сосуд, вместимость которого также равна $$20\ \text{л}$$. Наполнив оставшуюся часть второго сосуда водой, дополнили этой смесью первый сосуд. Далее из первого сосуда перелили $$6\frac{2}{3}\ \text{л}$$ во второй. В результате оба сосуда содержат одинаковое количество спирта. Сколько литров спирта отлили в первый раз?
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{8},\\x+y=12;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-y=4,\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{4}{5};\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2},\\\frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1},\\\frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}.\end{cases}$$
а)
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=12-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{12-x}=\frac{3}{8}.$$
Умножим на $$8x(12-x)$$:
$$8(12-x)+8x=3x(12-x).$$
$$96=36x-3x^2.$$
$$3x^2-36x+96=0.$$
$$x^2-12x+32=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 32=16.$$
$$x_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}.$$
Тогда $$x_1=4,\; x_2=8.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=12-4=8,\quad y_2=12-8=4.$$Ответ: $$(4;8),\ (8;4).$$
б)
Из первого уравнения:
$$y=x-4.$$
Подставим во второе:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}=-\frac{4}{5}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x-4-x}{x(x-4)}=-\frac{4}{5},$$
$$\frac{-4}{x(x-4)}=-\frac{4}{5}.$$
Сократим на $$-4$$:
$$\frac{1}{x(x-4)}=\frac{1}{5}.$$
$$x(x-4)=5.$$
$$x^2-4x-5=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36.$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$
Тогда $$x_1=-1,\; x_2=5.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=-1-4=-5,\quad y_2=5-4=1.$$Ответ: $$(-1;-5),\ (5;1).$$
в)
Из второго уравнения:
$$\frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y}\quad \Rightarrow \quad y=-3(x-2)=6-3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{2}{(6-3x)-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2},$$
$$\frac{2}{5-3x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2(5-3x)(x+1)$$:
$$4(x+1)+6(5-3x)=5(5-3x)(x+1).$$
$$4x+4+30-18x=25x+25-15x^2-15x.$$
$$15x^2-24x+9=0.$$
$$5x^2-8x+3=0.$$
$$D=8^2-4\cdot 5\cdot 3=4.$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{10}.$$
Тогда $$x_1=\frac{3}{5},\; x_2=1.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=6-3\cdot \frac{3}{5}=\frac{21}{5},\quad y_2=6-3=3.$$Ответ: $$\left(\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right),\ (1;3).$$
г)
Из первого уравнения:
$$\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1}\quad \Rightarrow \quad x-1=2(y+1),$$
$$x=2y+3.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{4}{(2y+3)+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3},$$
$$\frac{4}{2y+5}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}.$$
Умножим на $$3(2y+5)(y-1)$$:
$$12(y-1)+3(2y+5)=(2y+5)(y-1).$$
$$12y-12+6y+15=2y^2+3y-5.$$
$$2y^2-15y-8=0.$$
$$D=15^2+4\cdot 2\cdot 8=289.$$
$$y_{1,2}=\frac{15\pm 17}{4}.$$
Тогда $$y_1=-\frac{1}{2},\; y_2=8.$$
Найдём $$x$$:
$$x_1=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+3=2,\quad x_2=2\cdot 8+3=19.$$Ответ: $$(2;-\tfrac{1}{2}),\ (19;8).$$
