Упр.479 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {2x^2-3y^2=y-6, 3x-2y=2};
б) {5y+2x=4, 3y^2-4x^2-6x=-6};
в) {x^2-y^2=x+y, 2x+3y=1}.
а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$3x-2y=2$$
$$2y=3x-2$$
$$y=\frac{3}{2}x-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2x^2-3\left(\frac{3}{2}x-1\right)^2=\frac{3}{2}x-1-6.$$
$$2x^2-3\left(\frac{9}{4}x^2-3x+1\right)=\frac{3}{2}x-7.$$
$$2x^2-\frac{27}{4}x^2+9x-3=\frac{3}{2}x-7.$$
$$\frac{19}{4}x^2-\frac{15}{2}x-4=0.$$
Умножим на 4:
$$19x^2-30x-16=0.$$
$$D=(-30)^2-4\cdot 19\cdot(-16)=900+1216=2116.$$
$$x=\frac{30\pm 46}{38}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac{8}{19}.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=\frac{3}{2}\cdot 2-1=2,$$
$$y_2=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{8}{19}\right)-1=-\frac{12}{19}-1=-\frac{31}{19}=-1\frac{12}{19}.$$
Получаем пары решений: $$\left(2;2\right)$$ и $$\left(-\frac{8}{19};-\frac{31}{19}\right).$$
б) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$5y+2x=4$$
$$y=\frac{4-2x}{5}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3\left(\frac{4-2x}{5}\right)^2-4x^2-6x=-6.$$
$$3\cdot \frac{(4-2x)^2}{25}-4x^2-6x+6=0.$$
$$3(16-16x+4x^2)-100x^2-150x+150=0.$$
$$48-48x+12x^2-100x^2-150x+150=0.$$
$$88x^2+198x-198=0.$$
$$4x^2+9x-9=0.$$
$$D=9^2-4\cdot 4\cdot(-9)=81+144=225.$$
$$x=\frac{-9\pm 15}{8}.$$
$$x_1=-3,\quad x_2=\frac{3}{4}.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=\frac{4-2(-3)}{5}=2,$$
$$y_2=\frac{4-2\cdot \frac{3}{4}}{5}=\frac{1}{2}.$$
Ответы: $$(-3;2)$$ и $$\left(\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right).$$
в) Первое уравнение разложим на множители:
$$x^2-y^2=x+y$$
$$ (x-y)(x+y)=x+y.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x+y\neq 0.$$ Тогда можно разделить на $$x+y$$:
$$x-y=1,$$
$$y=x-1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x+3(x-1)=1$$
$$5x=4,$$
$$x=\frac{4}{5},\quad y=\frac{4}{5}-1=-\frac{1}{5}.$$
2) $$x+y=0.$$ Тогда $$y=-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$2x+3(-x)=1$$
$$-x=1,$$
$$x=-1,\quad y=1.$$
Ответ
а) $$\left(2;2\right),\ \left(-\frac{8}{19};-\frac{31}{19}\right);$$ б) $$(-3;2),\ \left(\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right);$$ в) $$(-1;1),\ \left(\frac{4}{5};-\frac{1}{5}\right).$$
